Met behulp van een AI-systeem is de auteur erin geslaagd een wiskundige puzzel op te lossen die al 18 jaar onopgelost what. De zogenaamde magische zeshoeken konden op een voorheen onbekende manier worden opgelost met standaard hardware. De AI die hiervoor werd gebruikt hielp bij het ontwikkelen van het oplossingsprogramma. De rest what te danken aan de eigen intelligentie van een niet-wiskundige.

Waar gaat het over?

Het wordt aangetoond dat met behulp van kunstmatige intelligentie een tot nu toe onoplosbaar wiskundig (NP-schwer) probleem door een informaticus met onderontwikkelde wiskundekennis kan worden opgelost. NP-schwer zijn de moeilijkste problemen, omdat ze meestal niet in eindige tijd kunnen worden opgelost door alleen maar te proberen, en omdat er geen algoritme is dat een garantie biedt voor het vinden van een oplossing.

AI werd hier gebruikt als middel om een doel te bereiken. Menselijke interventie what ook nodig. Zonder AI zou de getoonde oplossing echter nooit zijn gerealiseerd.

18 jaar lang what er geen oplossing voor het probleem, maar nu wel. Met AI.

Naast dit wordt er nog vermeld dat de oplossing hier duidelijk moeilijker te vinden what dan de beste oplossing tot nu toe, die al 18 jaar oud is! Het oorspronkelijke probleem gaat terug tot het jaar 1887, toen de Stralsunder stadsbouwmeester Ernst von Haselberg zijn fascinatie voor magische hexagons ontdekte. Later maakte Martin Gardner dit probleem wereldberoemd.

Inleiding

AI kan enorm veel presteren als men haar goed gebruikt. Het volgende concreet voorbeeld laat zien met een echt, voor de wiskunde relevant resultaat hoe AI het werk aanzienlijk kan vergemakkelijken. Voor dit genoemde probleem werd het werk niet alleen vergemakkelijkt, maar werd de oplossing zelfs mogelijk gemaakt. Zonder AI zouden er geen van deze hier voorgestelde oplossingen (vanaf N = 7) zijn geweest.

Gegevensbescherming, auteursrecht, handelsgeheimen

Auch al zijn geen persoonsgegevens verwerkt: De oplossing liep op een eigen infrastructuur. Het gaat ook om zoiets als een „Handelsgeheim“. De oplossingsweg voor de magische hexagone lijkt in deze vorm niet bekend te zijn.

Wie je iemand uit verlegenheid een Wikipedia-afbeelding op zijn website wil inbinden, zou hij beter tien keer na moeten denken. De grafiek in de volgende paragraaf is zelf gemaakt. Wie echter een vergelijkbaar hexaagon (met een andere oplossing) van de Duitse Wikipedia-pagina wilt nemen, zal aan de juridisch noodzakelijke rechtvaardigingsverklaringen voor de licentie CC-BY-SA-3.0 stranden. Net zoals de auteur zeven jaar geleden deed. Toen had een zelfbenoemde plagiatsjager (fotograaf) na verkeerde gebruik van de door hem op Wikipedia "gratis" beschikbaar gestelde afbeeldingen gezocht. In het besef dat de rechtvaardigingsverklaring alleen door intieme kennissen correct kan worden gevolgd. Helaas had de plagiatsjager enige problemen met de bescherming van zijn persoonlijke gegevens op zijn websites en moeite met de identificatie van de aanbieder. Zo kwam het dat hij zijn rekening terugtrok, toen hij werd gewezen…

Magische zeshoeken

Het gaat over magische zeshoeken. Wat zijn magische zeshoeken?

Magische hexagone zijn zeshoeken met bepaalde Eigenschappen en hebben een ordegetal, dat N genoemd wordt. Dit ordegetal zegt uit hoeveel cellen (wabben) elke buitenrand van het zeshoek bestaat. Hier is een voorbeeld:

Deze magische zeshoek van orde N = 3 heeft 3 honingraten in elke buitenrand. Het aantal honingraten is 19 en volgt de formule 3N²-3N+1. In totaal bestaat deze zeshoek uit 15 rijen. Deze 15 rijen zijn:

• 5 horizontale rijen
• 2 Hauptdiagonalen
• 4 zijdiagonalen buiten
• 4 zijdiagonalen binnen
• = 15 rijen

Nu komt het Magisch: Een magisch hexagon (van orde 3) is alleen magisch als alle 15 rijen dezelfde sommen hebben en alle getallen in de cellen geheel zijn en elke van deze getallen afkomstig is uit een op elkaar volgende rij en elk getal precies één keer gebruikt werd. Het aantal rijen is eveneens het aantal (van elkaar afhankelijke) vergelijkingen die tegelijkertijd opgelost moeten worden. Voor een magisch zesdegtal zijn er altijd meerdere oplossingen.

Figuurlijk gesproken zien de 15 rijen in de kleinste betekenisvolle magische zeshoek er zo uit (volgorde 1 laten we weg omdat de corresponderende zeshoek uit precies één honingraat bestaat; volgorde 2 is niet mogelijk):

Je ziet 5 diagonale rijen met rode markeringen, 5 diagonale rijen met groene markeringen en 5 horizontale rijen met blauwe markeringen, dus 15 rijen. Elk van de 15 rijen moet dus dezelfde som hebben over alle kammen in de betreffende rij. Positieve getallen worden vaak gebruikt voor kleinere orders omdat ze gemakkelijker te visualiseren zijn. In het bovenstaande voorbeeld en ook in de volgende voorbeelden en nieuw geproduceerde resultaten zijn echter getallen van -X tot X gebruikt. Voor N = 3 komt de X overeen met het waardebereik van -9 tot 9. Dit bereik kan worden bepaald door: (aantal kammen – 1) / 2, dus (19 – 1)/2 = 9.

De fascinatie voor deze magische zesjes bevalt veel mensen. Zo werd bijvoorbeeld in het jaar 2022 een genetische algoritme ontwikkeld om mini-hexagons van de orde N = 3 op te lossen. Dit mini-hexagon heeft 19 velden en 15 rijen. We zullen een hexagon oplossen, dat de orde N = 9 en 217 velden alsmede 51 rijen heeft! De complexiteit neemt dus aanzienlijk toe bij hogere ordeningen.

Voor de bovenstaande symmetrische waarde (-X tot +X) resulteert als magische som (M) altijd 0. Deze Magische Constante is voor andere wabebesprekingen niet eenvoudig te berekenen. Het is evenmin duidelijk, voor welke getalbereiken een magisch zesvleugelig schip van de orde N in elk geval oplosbaar is. Voor N = 5 zijn er bijvoorbeeld geen oplossingen met getallen groter dan 15 als kleinste startgetal. Daarom is M = 0 heel charmeant, omdat het eerste berekenbaar is en het tweede zo lijkt te zijn dat deze som voor elke orde N mogelijk is.

Oplossingen

Je groter een zesde wordt, des te schrijver is het om zijn magische oplossing te vinden. Het grootste tot nu toe bekende magische zesde is volgens de onderzoekingen van de auteur een met de kantlengte N = 8 (zie ook Wikipedia). Als iemand grotere zesden heeft gevonden of gezien, vraagt de auteur om informatie.

Voor magische hexagons met een kantlengte van 3 tot 6 is de oplossing snel gevonden door brutale uitproberen ("Brute Force"). Vanaf N = 7 wordt het spannend.

Er what eerder geen oplossing voor magische zeshoeken van orde 9 (lengte van elke buitenrand). Ze bestaan sinds 10/09/2024.

Bron: Klaus Meffert en eigen onderzoek.

Wikipedia noemt precies één oplossing voor N = 7. De oplossing gebruikt de 128 getallen van 2 tot 127 en heeft een magische som van 365. De oplossing gebruikt de 128 getallen van 2 tot 127 en heeft de magische som van 365. De oplossing werd ontdekt in 2006.

Nieuwe oplossing voor Magische Zeshoek van Orde 7

Om problemen door onjuiste copyrightinformatie te voorkomen, hebben we zelf een oplossing gevonden:

Wikipedia noemt ook precies één oplossing voor orde 8. Deze werd ook ontdekt in 2006 (!) door Louis Hoelbling.

Nieuwe oplossing voor magische zeshoek N = 8

De auteur heeft ook zijn eigen oplossingen voor N = 8 gevonden met een zelfontwikkeld programma dat onder andere met AI is gemaakt. Deze oplossing is anders dan die op Wikipedia en luidt:

De op Wikipedia geregistreerde oplossing van Louis Hoelbling is daarom anders, omdat niet alleen de nummering anders is, maar ook geen symmetrie heerst. Symmetrisch zouden oplossingen zijn als ze door draaien, spiegelen of zelfs door omkering van de tekeningen in elkaar overgezet konden worden.

De kleurintensiteit in de getoonde zeshoeken geeft het aantal honingraten aan die elk door één honingraat worden beïnvloed. Het is duidelijk dat het centrale veld in de zeshoek de andere velden het meest beïnvloedt. Daarom is het weergegeven in de donkerste kleur. De buitenste velden hebben de minste invloed op andere velden. Hieronder meer hierover.

Eerste oplossing voor Magische Zeshoek van Orde 9

Volgens het onderzoek van de auteur is er geen oplossing voor magische zeshoeken voor N = 9. De auteur vond deze oplossing op 10/09/2024. De oplossing is:

De oplossing is gevonden door het oplossingssysteem van de auteur, dat is gemaakt met behulp van AI en interne ontwikkeling. De e-mail met de oplossing, die automatisch wordt verzonden door het oplossingssysteem, werd verzonden om 00:08 op 10/09/2024.

Oplossingsvoorwaarden bestaan uit 51 vergelijkingen en 217 variabelen. Een variabele is hier de getal op een wabbe in het zeshoekig gebied. Elke variabele maakt deel uit van 3 van de 217 vergelijkingen (omdat elke variabele een wabbe vertegenwoordigt en elke wabbe exact deel uitmaakt van 3 rijen in het hexagon). Klinkt vrij complex en is dat ook. Met blote proef en daad komt men hier niet echt aan de oplossing.

In de illustratie van de magische zeshoek van orde 9 laat de kleurintensiteit van elke honingraat ook zien hoeveel andere honingraten worden beïnvloed. Invloed betekent dat een verandering in de numerieke waarde op de honingraat een effect heeft op de andere honingraten die beïnvloed worden door de numerieke verandering. Specifiek ziet de invloed voor magische hexagons van orde 9 er altijd zo uit:

Het middelste veld beïnvloedt dus 48 andere honingraten. De hoekraten daarentegen beïnvloeden slechts 32 andere raten. Elke honingraat maakt deel uit van precies drie rijen. Het middelste veld ligt in drie rijen van gelijke lengte, die elk 17 raten lang zijn. De 17 is het resultaat van 2N-1 (2*9-1). Omdat het middelste veld zelf niet meetelt bij het beïnvloeden van andere honingraten, zijn 3 diagonalen * (17-1) = 3 * 16 = 48. Dit aantal is het aantal honingraten dat beïnvloed wordt door het middelste veld, wat ook te zien is in de figuur.

Verificatie van de oplossing

Het is over het algemeen een goed idee om programma-uitgangen te controleren. Dit geldt voor zowel conventionele programma's als AI-uitvoer.

Omdat de auteur een computerwetenschapper is, gelooft hij niet in zijn eigen programma en de oplossing die hierboven voor de zeshoek van orde 9 wordt getoond. De gevonden oplossing werd daarom handmatig herberekend. Hier is een uittreksel van de inspanningen om verlegenheid te voorkomen:

Excuses aan alle wiskundigen, die hopelijk geen grove fouten in de uitleg zullen vinden, maar zeker formele onvolkomenheden waar een wiskundige zich aan zal ergeren.

Een wiskundige, een natuurkundige en een computerwetenschapper reizen per trein door Schotland.

Ze zitten alledrie in dezelfde coupé en kijken uit het raam.

Je ziet een weiland met schapen. Eén schaap is zwart.

De computerwetenschapper wil een wetenschappelijke verklaring afleggen en realiseert zich dat: "Er zijn zwarte schapen in Schotland."

De natuurkundige is boos omdat de verklaring van de computerwetenschapper zo onnauwkeurig is. Volgens de natuurkundige is het enige dat echt bepaald kan worden het volgende: "Er is ten minste één zwart schaap in Schotland."

De wiskundige staat op het punt van instorten van zijn bloedsomloop. Hij kan er maar niet bij dat computerwetenschappers en natuurkundigen zulke onnauwkeurige uitspraken hebben gedaan. Hij kondigt aan dat we alleen het volgende kunnen concluderen: "In Schotland is er minstens één schaap dat zwart is aan de kant die naar ons toe wijst."

Wiskundigen hebben altijd gelijk, maar in de praktijk is het meestal niet relevant (een wiskundige wordt in een vliegende ballon gevraagd waar we zijn. Zijn antwoord: '50 meter boven de grond').

Natuurkundigen hoeven zich nergens voor te schamen, zie Albert Einstein als de meester van alle klassen.

Informatici hebben soms gelijk, dan maar met praktische betrekking. Zo de persoonlijke levenservaring van een informaticus.

Hoe heeft AI geholpen bij de oplossing?

Eerdere pogingen van de auteur uit een paar jaar geleden waren gebaseerd op Back Tracking en Brute Force met uitsluiting van combinaties die al van tevoren als ongepast konden worden herkend. Voor N = 7 en N = 8 konnen daarmee geen oplossingen worden gevonden, hoewel het programma redelijk volgroeid what. Tegenwoordig zou deze aanpak misschien voor N = 7 veelbelovend zijn omdat de hardware beter is geworden. Als taal werd Java gebruikt omdat het om een gecompileerde taal gaat die aanzienlijk sneller wordt uitgevoerd dan geïnterpreteerde talen.

De huidige, succesvolle pogingen zijn gebaseerd op een frameworkprogramma dat met AI is gemaakt. Dit programma liep al goed voor kleinere N's, maar niet voor het doelgebied. Een paar manuele optimalisaties brachten uiteindelijk de success. Als taal werd python

Een voorbeeld van een Python programma dat de lengte van alle woorden in een tekst bepaalt.

tekst = "Deze tekst is heel lang en heeft veel woorden." woorden = tekst.split() lengtes = len(woord) for woord in woorden print(lengtes) gebruikt, de nummer 1 AI-taal.

De telefoonjoker bij Wie wordt miljonair? zal binnenkort geschiedenis zijn.

Weil Python niet supersnel is, werd een optimalisatie doorgevoerd. Deze optimalisatie berust op een Just-In-Time Compiler (JIT). Het programmeren ervan maakt geen lol, om het maar zo te zeggen. Men voelt zich 20 jaar terug in de tijd, wat comfort en beschikbare functionaliteiten betreft. Om het probleem te ontscharen werd weerom AI ingezet. Dat what een andere bouwsteen van de oplossing.

Enkele van de geproduceerde resultaten waren nabij-oplossingen. De Magische Constante M werd niet precies bereikt, maar bijna. Met behulp van twee math-AI-modellen werd in ieder geval oppervlakkig onderzocht of men hier niet met iets heuristisch verder kon komen. De idee what om de nabij-oplossing door slimme transformatie tot een echte oplossing te maken. De beoordeelde math-modellen konden geen oplossing hiervoor bieden. Dat hielp wel, deze waarschijnlijke misdaad als zodan te herkennen en de middelen in een betere oplossingsaanpak te steken.

Met een eigen AI zijn zoveel dingen mogelijk. Bijvoorbeeld de Telefonjoker-app: zo snel mogelijk wordt dit AI-systeem nader beschreven. Het kan: vragen per Microsoft en spraak ontvangen, spraak in tekst omzetten, vraag aan LLM stellen, antwoord van LLM in spraak omzetten, antwoord voorlezen aan de gebruiker. Alles lokaal, alles zonder Winzigweich's Azure en ChatGPT. Daarbij ook het internet aanspreken als nodig is. Of automatisch kwalitatief hoogwaardige inhoud van betrouwbare bronnen voor de antwoord inbrengen, als nodig is. Men vraagt zich af: Wanneer wordt de Telefonjoker bij Wie wordt miljonair afgeschaft?

Conclusie

Met AI kunnen oplossingen worden gevonden die voorheen verborgen bleven. Het kan ook problemen met auteursrechten voorkomen (lichte ironie aan het einde).

Op zijn minst kunnen oplossingen in veel gevallen echter aanzienlijk worden versneld.

Met behulp van de Magische Hexagon kon is aangetoond dat nieuwe oplossingen met AI-steun zelfs voor NP-zware problemen kunnen worden gevonden. Ter herinnering: De vorige, aanzienlijk makkelijker te vinden oplossing what uit het jaar 2006. De nieuwe oplossing werd in 2024 gevonden, 18 jaar later.

Als hardware werd vandaag de dag standaard gebruikt. In totaal waren twee AI-servers plus één AI-laptop en een Low-Cost Server tegelijkertijd in gebruik. De servers zijn allemaal gehost door een Duitse leverancier in Duitsland. De servers werkten alleen buiten kantoortijden aan het probleem, om de dagelijkse zaken niet te hinderen. De oplossingen waren na enkele dagen en een paar ronden van optimalisatie gevonden.

De volgende Uitbreidingsfase van het programma om magische hexagons op te lossen zou een complete parallelisering (CUDA) zijn. Precies hiervoor bestaan AI-kaarten. De berekening zal waarschijnlijk met een factor 40 sneller verlopen. Niet heel onbelangrijk bij berekeningen die soms weken of maanden kunnen duren. Deze parallelisering van de zoektocht naar resultaten is zowel wiskundig als programmatisch complex en moet daarom later worden uitgesteld.

Wanneer lost uw bedrijf problemen op met AI?

Auteur van de Magische Zeshoeken

Klaus Meffert, Idstein, Duitsland

Meer informatie op Research Gate.

Afbeeldingslicentie voor magische zeshoeken

Alle afbeeldingen van magische zeshoeken uit dit artikel mogen worden gebruikt zolang de afbeeldingen niet worden gewijzigd (verkleinen of comprimeren van de afbeeldingen is natuurlijk toegestaan).

Aangepaste versies van de afbeeldingen mogen met vermelding van een link naar dr-dsgvo.de/magic worden gebruikt.

Voor gemeenschapsprojecten (o.a.) zoals Wikipedia mogen de volgende afbeeldingen met vermelding van de auteur worden gebruikt. Voor andere projecten zijn de hierboven getoonde afbeeldingen met de hierboven genoemde afbeeldingslicentie beschikbaar.

Bij twijfel over de afbeeldingsgebruik, vraag alstublieft na: klaus.meffert@dr-dsgvo.de

De auteur zou zich ook verheugen als u het magische zesde van de orde 9 noemt. Veel dank aan Thorsten Müller voor het verstrekken van zijn stem voor de spraakuitvoering. Opmerking: De spraakuitvoering is verbeterd door een optimalisatie.

Belangrijkste boodschappen van dit artikel

Een AI heeft een 18 jaar oude onopgeloste wiskundige puzzel opgelost.

Met behulp van AI what het mogelijk om deze puzzel op te lossen, die voorheen niet kon worden opgelost met traditionele methoden zoals backtracking of brute kracht.

Magische zeshoeken zijn zeshoeken waarin elke rij dezelfde som heeft en alle getallen binnen de honingraten worden gebruikt.

Elk getal binnen de honingraat wordt precies één keer gebruikt.

Het rangtelwoord (N) geeft aan hoeveel honingraten er aan elke buitenrand zitten.

Voor een magische zeshoek van orde 3 moeten bijvoorbeeld 15 rijen gevuld worden met een bepaalde som.

Op 10 september 2024 werd een oplossing gevonden voor een magische zeshoek van orde 9, nadat zo'n oplossing nog niet eerder had bestaan.

Elke variabele in de magische zeshoek van orde 9 beïnvloedt precies 48 andere honingraten.

Over deze kernuitspraken