Utilizando un sistema de IA, el autor ha logrado resolver un enigma matemático que llevaba 18 años sin resolverse. Los llamados hexágonos mágicos podían resolverse con hardware estándar de una forma desconocida hasta entonces. La IA utilizada para ello ayudó a desarrollar el programa de solución. El resto se debió a la propia inteligencia de un no matemático.
¿De qué se trata?
Se demuestra que con la ayuda de la Inteligencia Artificial un problema matemático (NP-difícil) no resuelto hasta ahora puede ser resuelto por un informático con conocimientos matemáticos muy desarrollados. Los problemas NP-difíciles son los más difíciles porque suelen no poder ser resueltos en tiempo finito mediante el simple ensayo y error, y porque no existe ningún algoritmo que garantice la solución.
La IA se utilizó aquí como medio para un fin. También fue necesaria la intervención humana. Sin embargo, sin la IA, la solución mostrada nunca se habría hecho realidad.
Durante 18 años no hubo solución al problema, pero ahora sí. Con la IA.
Además, se debe mencionar que la solución aquí presentada fue mucho más difícil de encontrar que la mejor solución hasta ahora, que ya tiene 18 años. El problema original remonta al año 1887, en el que el maestro de obras de Stralsund, Ernst von Haselberg, descubrió su fascinación por los hexágonos mágicos. Más tarde, Martin Gardner hizo que el problema fuera conocido a nivel mundial.
Introducción
La AI puede realizar enormemente mucho cuando se utiliza correctamente. El siguiente caso de ejemplo concreto muestra, con un resultado real y relevante para la matemática, cómo la AI puede facilitar significativamente el trabajo. Para el problema mencionado, no solo se facilitó el trabajo, sino que se hizo posible la solución. Sin AI, no habría existido ninguna de las soluciones presentadas (desde N = 7).
IA + autointeligencia = solución
Más diversión con una infraestructura de IA que no incurre en costes adicionales con un mayor uso.
Protección de datos, derechos de autor, secretos comerciales
Aunque no se hayan procesado datos personales: La solución utilizada corría en una infraestructura propia. En fin, también se trata de algo como un"secreto comercial". El camino para resolver los hexágonos mágicos parece desconocido en esta forma.
Quien quiera incorporar una imagen de Wikipedia en su página web por vergüenza debería pensar en ello diez veces. La gráfica del siguiente apartado fue creada por él mismo. Quien, por el contrario, desee un hexágono similar (con otra solución) de la página alemana de Wikipedia, se enfrentará a las declaraciones de autoría legales necesarias para la licencia CC-BY-SA-3.0. Al igual que lo hizo el autor hace 7 años. En ese entonces, un supuesto cazarepetidor (fotógrafo) buscaba infracciones después del uso incorrecto de las imágenes que él había puesto a disposición en Wikipedia como "gratis". Conociendo que la declaración de autoría solo puede ser cumplida correctamente por conocidos íntimos. Desafortunadamente, el cazarepetidor tenía problemas con la privacidad en sus páginas web y dificultades con la identificación del proveedor. Así fue que retiró su factura cuando se le hizo notar…
Hexágonos mágicos
Se trata de hexágonos mágicos. ¿Qué son los hexágonos mágicos?
Hexágonos mágicos son hexágonos con ciertas características y tienen un número de orden que se le llama N. Este número de orden dice cuántas celdas (celdas) hay en cada borde exterior del hexágono. Aquí tienes un ejemplo:
Este hexágono mágico de orden N = 3 tiene 3 panales en cada arista exterior. El número de panales es 19 y sigue la fórmula 3N²-3N+1. En total, este hexágono consta de 15 filas. Estas 15 filas son:
- 5 filas horizontales
- 2 diagonales principales
- 4 diagonales laterales exteriores
- 4 diagonales laterales interiores
- = 15 filas
Nun viene lo Mágico: Un hexágono mágico (de orden 3) es solo mágico si todas las filas de 15 tienen la misma suma y todas las cifras en las celdas son número entero y cada una de estas cifras se ha tomado de una serie consecutiva y cada número se utiliza exactamente una vez. El número de filas es al mismo tiempo el número de (de entre sí dependientes) ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. Para un hexágono mágico siempre hay varias soluciones.
Hablando en sentido figurado, las 15 filas del hexágono mágico más pequeño con sentido tienen este aspecto (omitimos el orden 1 porque el hexágono correspondiente consta exactamente de un panal; el orden 2 no es posible):
Puede ver 5 filas diagonales con marcas rojas, 5 filas diagonales con marcas verdes y 5 filas horizontales con marcas azules, lo que hace 15 filas. Por lo tanto, cada una de las 15 filas debe tener la misma suma en todos los peines de la fila respectiva. A menudo se utilizan números positivos para los pedidos más pequeños porque son más fáciles de visualizar. Sin embargo, en el ejemplo anterior y también en los ejemplos siguientes y en los nuevos resultados obtenidos, se han utilizado números de -X a X. Para N = 3, la X corresponde al intervalo de valores de -9 a 9. Este intervalo puede determinarse mediante: (número de peines – 1) / 2, es decir, (19 – 1)/2 = 9.
La fascinación por estos hexágonos mágicos entusiasma a muchos. Así, por ejemplo, en el año 2022 se desarrolló un algoritmo genético para resolver mini-hexágonos de orden N = 3. Este mini-hexágono tiene 19 campos y 15 filas. Resolveremos un hexágono con orden N = 9 y 217 campos, así como 51 filas. La complejidad aumenta significativamente a medida que las órdenes son más altas.
Para el rango de valores simétrico (desde -X hasta +X) se obtiene como suma mágica M siempre 0. Esta constante mágica no es fácilmente determinable para otras asignaciones de celdas. Además, no está claro para qué rangos numéricos un hexágono mágico de orden N es en general resoluble. Por ejemplo, para N = 5 parece que no hay solución con números mayores a 15 como número más pequeño. Por lo tanto, M = 0 es muy encantador, porque primero es calculable y segundo parece que esta suma podría ser posible para cualquier orden N.
Soluciones
Cuanto más grande es un hexágono, tanto más difícil es encontrar su solución mágica. El mayor hexágono mágico conocido hasta la fecha es uno con una longitud de lado N = 8 (ver también Wikipedia). Si alguien ha encontrado o visto hexágonos mayores, el autor agradece cualquier información.
Para hexágonos mágicos de longitud de lado 3 a 6, la solución se encuentra rápidamente por prueba bruta ("Brute Force"). A partir de N = 7 se vuelve emocionante.
Antes no había solución para los hexágonos mágicos de orden 9 (longitud de cada arista exterior). Existen desde el 10/09/2024.
Fuente: Klaus Meffert e investigación propia.
Wikipedia enumera exactamente una solución para N = 7. La solución utiliza los 128 números del 2 al 127 y tiene la suma mágica de 365. La solución fue descubierta en 2006.
Nueva solución para el hexágono mágico de orden 7
Para evitar problemas debidos a información incorrecta sobre los derechos de autor, hemos encontrado una solución:
Wikipedia también enumera exactamente una solución para el orden 8. Esto también fue descubierto en 2006 (!) por Louis Hoelbling.
Nueva solución para el hexágono mágico N = 8
El autor también ha encontrado sus propias soluciones para N = 8 con un programa de desarrollo propio que fue creado utilizando IA, entre otras cosas. Esta solución es diferente de la que aparece en Wikipedia y dice así:
La solución registrada en Wikipedia de Louis Hoelbling es diferente, porque no solo la numeración es distinta, sino que tampoco hay simetría. Las soluciones serían simétricas si se pudieran convertir entre sí mediante rotación, reflexión o incluso inversión de signos.
La intensidad del color en los hexágonos representados indica el número de panales en los que influye cada uno. Evidentemente, el campo central del hexágono es el que más influye en los demás campos. Por ello, aparece en el color más oscuro. Los campos exteriores son los que menos influyen en los demás. Más información a continuación.
Primera solución para el hexágono mágico de orden 9
Según las investigaciones del autor, no hay solución para hexágonos mágicos para N = 9. El autor encontró esta solución el 10/09/2024. La solución es:
La solución fue encontrada por el sistema de soluciones del autor, creado con ayuda de IA y desarrollo propio. El correo electrónico con la solución, enviado automáticamente por el sistema de soluciones, se envió a las 00:08 del 10/09/2024.
Las condiciones de solución consisten en 51 ecuaciones y 217 variables. Una variable aquí es el número en una rueda del hexágono. Cada variable forma parte de 3 de las 217 ecuaciones (ya que cada variable corresponde a una rueda y cada rueda está exactamente en 3 filas del hexágono). Suena bastante complejo y lo es. Con solo probarlo no se llegará realmente al objetivo.
En la ilustración del hexágono mágico de orden 9, la intensidad del color de cada panal muestra también cuántos otros panales están influenciados. Influencia significa que un cambio en el valor numérico del panal tiene un efecto en los demás panales que están influidos por el cambio numérico. En concreto, la influencia para los hexágonos mágicos de orden 9 siempre tiene este aspecto:
Por tanto, el campo central influye en otros 48 panales. En cambio, los panales de las esquinas sólo influyen en otros 32 panales. Cada panal forma parte de exactamente tres filas. El campo central se encuentra en tres filas de igual longitud, cada una de las cuales tiene 17 panales. Los 17 resultan de 2N-1 (2*9-1). Como el propio campo central no se cuenta cuando influye en otros panales, 3 diagonales * (17-1) = 3 * 16 = 48. Este número es el número de panales influidos por el campo central, que también puede verse en la figura.
Verificación de la solución
En general, es una buena idea controlar las salidas de los programas. Esto se aplica tanto a los programas convencionales como a la salida AI.
Debido a que el autor es informático, no cree en su propio programa ni en la solución mostrada anteriormente para el hexágono de orden 9. Por lo tanto, la solución encontrada fue recalculada manualmente. He aquí un extracto de los esfuerzos para evitar la vergüenza:
Disculpas a todos los matemáticos, que esperemos no encuentren errores groseros en las explicaciones, pero sin duda imperfecciones formales que molestarán a un matemático.
Un matemático, un físico y un informático viajan por Escocia en tren.
Los tres se sientan en el mismo compartimento y miran por la ventanilla.
Ves un prado con ovejas. Una oveja es negra.
El informático quiere hacer una afirmación científica y se da cuenta: "Hay ovejas negras en Escocia."
El físico está molesto porque la afirmación del informático es muy imprecisa. Según el físico, lo único que realmente se puede determinar es lo siguiente: "En Escocia hay al menos una oveja negra."
El matemático está al borde de un colapso circulatorio. No puede quitarse de la cabeza que los informáticos y los físicos hayan hecho afirmaciones tan inexactas. Anuncia que sólo podemos concluir lo siguiente: "En Escocia, hay al menos una oveja que es negra por el lado que mira hacia nosotros."
Los matemáticos siempre tienen razón, pero no suele ser relevante en la práctica (se pregunta a un matemático en un globo cautivo volador dónde estamos. Su respuesta: "a 50 metros del suelo").
Los físicos no tienen nada de qué avergonzarse, véase Albert Einstein como el maestro de todas las clases.
Los informáticos tienen a veces razón, pero entonces con relación a la práctica. Así es la experiencia personal de un informático.
¿Cómo ayudó la IA a encontrar la solución?
Anteriores intentos del autor de hace unos años se basaban en Back Tracking y Brute Force con exclusión de combinaciones que podrían reconocerse como inválidas desde un principio. Para N = 7 y N = 8 no se pudieron encontrar soluciones, aunque el programa estaba bastante desarrollado. En este momento ese enfoque podría ser prometedor para N = 7 porque la hardware ha mejorado. Como lenguaje se utilizó Java porque es un lenguaje compilado que se ejecuta mucho más rápido que los interpretados.
El actual intento exitoso se basa en un marco de programa creado con Inteligencia Artificial. Este programa funcionó bien para pequeños números, pero no para el rango objetivo. Un par de optimizaciones manuales llevaron al éxito final. Como lenguaje se utilizó Python, la primera lengua de inteligencia artificial.
El chiste del teléfono en ¿Quién quiere ser millonario? pronto será historia.
No es que Python no sea muy rápido, se ha realizado una optimización. Esta optimización se basa en un Just-In-Time Compiler (JIT). La programación con él no es divertida, para ser amable. Se siente como estar 20 años atrás en cuanto a comodidad y funciones disponibles. Para solucionar el problema se ha vuelto a recurrir a la Inteligencia Artificial. Eso fue otro de los elementos clave de la solución.
Algunos de los resultados producidos fueron Soluciones casi perfectas. La Constante Mágica M no se alcanzó con precisión, pero sí casi. Con la ayuda de dos modelos de Inteligencia Artificial en Matemáticas, al menos se revisó superficialmente si aquí no podría haber algo de heurística para seguir adelante. La idea era convertir la solución casi perfecta en una verdadera solución mediante un hábil cambio de forma. Los modelos matemáticos consultados no pudieron proporcionar ninguna solución para esto. Lo que ayudó, sin embargo, fue reconocer este camino probablemente errado como tal y canalizar los recursos hacia un mejor enfoque de resolución.
Con una propia inteligencia artificial son posibles tantas cosas. Por ejemplo, la aplicación de Telefonjoker: pronto se describirá más a fondo este sistema de IA. Puede: recibir preguntas por Microsoft y voz, convertir voz en texto, formular pregunta al LLM, convertir respuesta del LLM en voz, leer respuesta al usuario. Todo local, todo sin Winzigweich's Azure y ChatGPT. Para ello también se puede acceder a Internet si es necesario. O bien, incorporar automáticamente contenidos de alta calidad de fuentes confiables para la respuesta, si es necesario. Se pregunta: ¿Cuándo será el Telefonjoker eliminado en ¿Quién quiere ser millonario?
Conclusión
Con la IA se pueden encontrar soluciones que antes permanecían ocultas. También puede evitar problemas de derechos de autor (ligera ironía al final).
Pero, como mínimo, las soluciones pueden acelerarse considerablemente en muchos casos.
18 años después de la mejor solución hasta la fecha, se ha encontrado una nueva solución mejor con la IA.
Se refiere a N=8 (año 2006) y N=9 (2024) Véase el artículo.
Con el ejemplo del Hexágono Mágico se pudo demostrar que con apoyo de Inteligencia Artificial se pueden encontrar nuevas soluciones incluso para problemas NP-difíciles. Recordatorio: La anterior, mucho más fácilmente encontrada solución era de 2006. La nueva solución fue encontrada en 2024, 18 años después.
Se utilizó el estándar de hardware actualizado. En total, se utilizaron dos servidores de Inteligencia Artificial y un laptop de Inteligencia Artificial y un servidor de bajo costo simultáneamente. Los servidores están todos alojados en Alemania por un proveedor alemán. Los servidores solo trabajaban fuera del horario comercial en el problema para no afectar la gestión diaria. Las soluciones fueron encontradas después de unos pocos días y algunas rondas de optimización.
La próxima etapa de ampliación del programa encontrado para resolver hexágonos mágicos sería una paralelización completa (CUDA). Exactamente por eso existen tarjetas gráficas de Inteligencia Artificial. La cálculo debería llevarse a cabo con probabilidad unas 40 veces más rápido. No es poco importante en cálculos que pueden durar semanas o meses. Esta paralelización de la búsqueda de resultados es tanto matemáticamente como técnicamente complicada y debe ser pospuesta por lo tanto.
¿Cuándo resuelve su empresa problemas con IA?
Autor de los hexágonos mágicos
Klaus Meffert, Idstein, Alemania
Información adicional en Research Gate.
Licencia de imagen para hexágonos mágicos
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En caso de duda sobre el uso de imágenes, por favor pregunte: klaus.meffert@dr-dsgvo.de
El autor se alegraría también de ser informado si menciona el hexágono mágico del orden 9. Muchas gracias a Thorsten Müller por proporcionar su voz para la versión de audio. Nota: La versión de audio ha sido mejorada mediante una optimización.
Mensajes clave de este artículo
Una IA ha resuelto un enigma matemático sin resolver desde hace 18 años.
Con la ayuda de la IA, fue posible resolver este rompecabezas, que antes no podía resolverse con métodos tradicionales como el backtracking o la fuerza bruta.
Los hexágonos mágicos son hexágonos en los que cada fila tiene la misma suma y se utilizan todos los números de los panales.
Cada número del panal se utiliza exactamente una vez.
El número ordinal (N) indica cuántos panales hay en cada borde exterior.
Para un hexágono mágico de orden 3, por ejemplo, deben rellenarse 15 filas con una suma determinada.
El 10 de septiembre de 2024, se encontró una solución para un hexágono mágico de orden 9, después de que no existiera anteriormente.
Cada variable del hexágono mágico de orden 9 influye exactamente en otros 48 panales.
Me llamo Klaus Meffert. Soy doctor en informática y llevo más de 30 años dedicándome profesional y prácticamente a las tecnologías de la información. También trabajo como experto en informática y protección de datos. Obtengo mis resultados analizando la tecnología y el Derecho. Esto me parece absolutamente esencial cuando se trata de protección de datos digitales.
