Grâce à un système d'IA, l'auteur a réussi à résoudre une énigme mathématique qui était restée sans solution pendant 18 ans. Ainsi, des hexagones dits magiques ont pu être résolus avec du matériel standard d'une manière jusqu'ici inconnue. L'IA utilisée à cet effet a aidé à développer le programme de résolution. Le reste était le fruit de l'intelligence propre d'un non-mathématicien.
De quoi s'agit-il ?
Il est démontré que grâce à l'intelligence artificielle un problème mathématique (NP-difficile) non résolu jusqu'alors peut être résolu par un informaticien ayant des mathématiques plutôt sous-développées. Les problèmes NP-difficiles sont les plus difficiles, car ils ne peuvent généralement pas être résolus en temps fini par simple essai et erreur, et parce qu'il n'y a aucun algorithme qui garantit la solution.
L'IA a été utilisée ici comme un moyen pour atteindre une fin. De plus, une intervention humaine était nécessaire. Sans l'IA, la solution présentée n'aurait jamais vu le jour.
Pendant 18 ans, il n'y a pas eu de solution à ce problème, mais maintenant elle est là. Avec l'IA.
Il convient de noter en passant que la solution ici trouvée est beaucoup plus difficile à trouver que la meilleure solution existante, qui a déjà 18 ans ! Le problème d'origine remonte à l'année 1887, où le maître des travaux publics de Stralsund Ernst von Haselberg découvre sa fascination pour les hexagones magiques. Plus tard, Martin Gardner fait connaître le problème dans le monde entier.
Introduction
La AI peut accomplir des choses énormes si on l'utilise correctement. Le cas d'application suivant, concret et réel, montre avec un résultat mathématique pertinent comment la AI peut considérablement alléger le travail. Pour ce problème, non seulement a-t-on facilité le travail mais on a aussi rendu possible la solution. Sans AI, il n'y aurait pas de solutions présentées ici (à partir de N = 7).
IA + intelligence propre = solution
Est plus amusant avec une infrastructure d'IA qui n'entraîne pas de coûts supplémentaires en cas d'utilisation accrue.
Protection des données, droit d'auteur, secrets commerciaux
Même si aucune donnée personnelle n'a été traitée: La solution utilisée fonctionnait sur une infrastructure propre. D'ailleurs, il s'agit d'un peu comme un «Secret des affaires». Le chemin de solution pour les hexagones magiques semble en cette forme inconnu.
Qui souhaite intégrer une image Wikipedia sur son site web par manque de courage devrait plutôt y réfléchir dix fois. L'image suivante a été créée elle-même. Qui, en revanche, souhaite prendre un hexagone similaire (avec une autre solution) de la page allemande de Wikipedia, celui-là échouera aux mentions obligatoires de l'auteur pour la licence CC-BY-SA-3.0 comme le fit l'auteur il y a 7 ans. À cette époque, un photographe s'autoproclamant chasseur de plagiat (photographe) avait cherché à utiliser de manière erronée les images qu'il avait lui-même mis à disposition sur Wikipedia. En sachant que la mention de l'auteur ne peut être suivie correctement que par des intimes, le chasseur de plagiat eut quelques problèmes avec la protection des données et des difficultés d'identification du fournisseur. C'est ainsi qu'il retira sa facture lorsque il fut mis en garde…
Hexagones magiques
Il s'agit d'hexagones magiques. Que sont les hexagones magiques ?
Les hexagones magiques sont des hexagones avec certaines propriétés et ont un nombre d'ordre, noté N. Ce nombre d'ordre dit à combien de cases chaque arête extérieure du hexagone est composée. Voici un exemple:
Cet hexagone magique d'ordre N = 3 possède 3 alvéoles dans chaque bord extérieur. Le nombre d'alvéoles est de 19 et suit la formule 3N²-3N+1. Au total, cet hexagone est composé de 15 rangées. Ces 15 rangées sont:
- 5 horizontale Reihen
- 2 diagonales principales
- 4 diagonales secondaires à l'extérieur
- 4 diagonales secondaires à l'intérieur
- = 15 rangées
Maintenant vient le Magique: Un hexagone magique (de l'ordre 3) est seulement magique, si toutes les 15 lignes ont la même somme et que toutes les nombres dans les cases sont entiers et que chaque nombre de ces cases a été pris d'une suite continue et que chaque nombre a été utilisé exactement une fois. Le nombre de lignes est également le nombre de (des équations dépendantes) qui doivent être résolues en même temps. Pour un hexagone magique, il existe toujours plusieurs solutions.
En termes d'image, les 15 rangées dans le plus petit hexagone magique significatif ressemblent à ceci (nous laissons de côté l'ordre 1, car l'hexagone correspondant est constitué d'exactement un nid d'abeille ; l'ordre 2 n'est pas possible):
On peut voir 5 rangées diagonales avec une marque rouge, 5 rangées diagonales avec une marque verte et 5 rangées horizontales avec une marque bleue Puissance 15 rangées. Chacune des 15 rangées doit donc avoir la même somme sur tous les rayons de la rangée correspondante. Pour les ordres plus petits, on utilise volontiers des nombres positifs, car ils sont plus parlants. Dans l'exemple ci-dessus, ainsi que dans les exemples suivants et les nouveaux résultats obtenus, on a toutefois utilisé des nombres de -X à X. Pour N = 3, X correspond à la plage de valeurs de -9 à 9. Cette plage peut être déterminée par: (nombre d'alvéoles – 1) / 2, donc (19 – 1)/2 = 9.
La fascination pour ces hexagones magiques passionne de nombreux. Ainsi, par exemple, en 2022, un algorithme génétique a été développé pour résoudre des mini-hexagones d'ordre N = 3. Ce mini-hexagone compte 19 cases et 15 rangées. Nous allons résoudre un hexagone dont l'ordre est N = 9 et qui comporte 217 cases ainsi que 51 rangées ! La complexité augmente donc considérablement avec des ordres plus élevés.
Pour la plage de valeurs symétrique (de -X à +X) mentionnée ci-dessus, on obtient toujours une somme magique M égale à 0. Cette constante magique n'est pas facilement déterminable pour d'autres configurations de grille. Il est également peu clair pour quelles plages de nombres un hexagone magique de l'ordre N peut être résolu du tout. Par exemple, il semble qu'il n'y ait aucune solution avec des nombres supérieurs à 15 comme plus petite valeur initiale. C'est donc très charmant que M = 0 puisqu'elle est d'abord calculable et qu'elle a l'apparence de pouvoir être possible pour tout ordre N.
Solutions
Quand un hexagone devient plus grand, il est devenu plus difficile de trouver sa solution magique. Le plus grand hexagone magique connu jusqu'à présent a une longueur de côté N = 8 (voir aussi Wikipedia). Si quelqu'un a trouvé ou vu des hexagones plus grands, l'auteur vous remercie de nous faire part de cette information.
Pour les hexagones magiques de longueur d'arête de 3 à 6, la solution est rapidement trouvée par brutale tentative ("Brute Force"). À partir de N = 7, c'est amusant.
Il n'existait jusqu'à présent aucune solution pour les hexagones magiques d'ordre 9 (longueur de chaque bord extérieur). Depuis le 10.09.2024, ils existent.
Source: Klaus Meffert et recherche personnelle.
Wikipedia mentionne exactement une solution pour N = 7. La solution utilise les 128 nombres de 2 à 127 et a la somme magique de 365. La solution a été découverte en 2006.
Nouvelle solution pour Hexagone magique d'ordre 7
Afin d'éviter tout problème lié à une indication erronée de l'auteur, nous indiquons ici une solution que nous avons trouvée nous-mêmes:
Pour l'ordre 8, Wikipedia mentionne également une seule solution. Celle-ci a également été découverte en 2006 ( !) par Louis Hoelbling.
Nouvelle solution pour Hexagone magique N = 8
Pour N = 8 également, l'auteur a trouvé ses propres solutions à l'aide d'un programme qu'il a lui-même développé, entre autres avec l'IA. Cette solution est différente de celle proposée sur Wikipedia et s'intitule:
La solution enregistrée sur Wikipedia de Louis Hoelbling est donc différente, car elle ne présente pas seulement une numérotation différente, mais également pas de symétrie. Des solutions symétriques seraient celles qui pourraient être transformées les unes dans les autres par rotation, réflexion ou même en inversant les signes.
L'intensité de la couleur dans les hexagones représentés indique le nombre d'alvéoles qui sont influencées par un alvéole à la fois. Il est évident que la case centrale de l'hexagone est celle qui influence le plus les autres cases. C'est pourquoi elle est représentée de manière plus sombre. Les champs extérieurs sont ceux qui influencent le moins les autres champs. Plus de détails ci-dessous.
Première solution pour Hexagone magique d'ordre 9
Selon les recherches de l'auteur, il n'existe pas encore de solution pour les hexagones magiques pour N = 9. Le 10.09.2024, l'auteur a trouvé cette solution. La solution est la suivante:
La solution a été trouvée par le système de résolution de l'auteur, qui a été créé à l'aide de l'IA et de son propre développement. Le mail avec la solution, envoyé automatiquement par le système de résolution, a été envoyé le 10.09.2024 à 00:08.
Les conditions de résolution se composent de 51 équations et 217 variables. Une variable est ici le nombre sur une roue dans un hexagone. Chaque variable fait partie de 3 des 217 équations (puisqu'une variable correspond à une roue et que chaque roue fait partie exactement de 3 lignes dans l'hexagone). Cela sonne assez complexe et c'est aussi le cas. Avec simplement essayer, on ne peut pas vraiment arriver au but.
De même, dans l'illustration de l'Hexagone magique d'ordre 9, l'intensité de la couleur de chaque nid d'abeilles indique combien d'autres nids d'abeilles sont influencés. L'influence signifie qu'une modification de la valeur numérique d'un nid d'abeilles a des répercussions sur les autres nids d'abeilles qui sont influencés par la modification numérique. Concrètement, l'influence pour les hexagones magiques d'ordre 9 se présente toujours comme suit:
Le champ central influence donc 48 autres alvéoles. En revanche, les alvéoles d'angle n'influencent chacune que 32 autres alvéoles. Chaque alvéole fait partie d'exactement trois rangées. Le champ central se trouve sur trois rangées de même longueur, chacune d'entre elles étant composée de 17 rayons. Le chiffre 17 résulte de 2N-1 (2*9-1). Comme le champ central lui-même n'est pas compté lorsqu'il influence d'autres alvéoles, on obtient 3 diagonales * (17-1) = 3 * 16 = 48. Ce nombre est le nombre d'alvéoles influencées par le champ central, qui est également visible sur l'illustration.
Vérification de la solution
En général, c'est une bonne idée de contrôler les sorties de programmes. Cela vaut aussi bien pour les programmes conventionnels que pour les dépenses d'IA.
Comme l'auteur est un informaticien, il ne croit pas à son propre programme et à la solution présentée ci-dessus pour l'hexagone d'ordre 9. La solution trouvée a donc été recalculée manuellement. Voici un extrait de ses efforts pour éviter l'embarras:
Désolé pour tous les mathématiciens qui, je l'espère, ne trouveront pas d'erreurs grossières dans les explications, mais certainement des imperfections formelles qui dérangeront un mathématicien.
Un mathématicien, un physicien et un informaticien voyagent en train à travers l'Écosse.
Tous trois sont assis dans le même compartiment et regardent par la fenêtre.
Vous voyez une prairie avec des moutons. Un mouton est noir.
L'informaticien veut faire une déclaration scientifique et constate: "Il y a des moutons noirs en Écosse."
Le pyhsicien est excité par le manque de précision de la déclaration de l'informaticien. La seule chose que l'on peut vraiment constater, selon le physicien, est la suivante: "En Écosse, il y a au moins un mouton noir."
Le mathématicien est au bord de la crise de nerfs. Il ne tient plus en place, car les informaticiens et les physiciens ont fait des déclarations tellement imprécises. Il annonce que l'on ne peut que constater ce qui suit: "En Écosse, il y a au moins un mouton qui est noir du côté qui nous fait face."
Les mathématiciens ont toujours raison, mais ce n'est généralement pas pertinent dans la pratique (on demande à un mathématicien dans un ballon captif en vol où nous nous trouvons. Sa réponse: '50 mètres au-dessus du sol').
Les physiciens n'ont pas à avoir honte, voir Albert Einstein comme maître de toutes les classes.
Les informaticiens ont parfois raison, mais alors avec une connotation pratique. C'est l'expérience personnelle d'un informaticien.
Comment l'IA a-t-elle contribué à la solution ?
Des tentatives antérieures de l'auteur, datant d'il y a quelques années, étaient basées sur Back Tracking et Brute Force avec exclusion des combinaisons qui pouvaient être immédiatement reconnues comme inadmissibles. Pour N = 7 et N = 8, aucune solution n'a pu être trouvée, même si le programme était relativement abouti. Actuellement, cette approche serait peut-être prometteuse pour N = 7, car l'hardware a amélioré. La langue utilisée était Java, car il s'agit d'une langue compilée qui est exécutée beaucoup plus rapidement que les langages interprétés.
L'actuel et réussi essai repose sur un programme de référence créé avec l'intelligence artificielle. Ce programme fonctionnait bien pour des petites N, mais pas dans le domaine ciblé. Quelques optimisations manuelles ont apporté le succès final. La langue utilisée était Le code Python n'est pas fourni dans le texte source. Veuillez fournir le code Python que vous souhaitez traduire en français. Je serai alors heureux de l'aider, la première langue d'intelligence artificielle.
Le joker téléphonique dans Qui veut être millionnaire va bientôt faire partie de l'histoire.
Nous avons optimisé Python car il n'est pas très rapide. Cette optimisation repose sur un Just-In-Time Compiler (JIT). Programmer avec cela n'est pas amusant, pour le dire gentiment. On se sent transporté 20 ans en arrière, en termes de confort et de fonctionnalités disponibles. Pour résoudre ce problème, on a recours à l'intelligence artificielle. C'était un autre élément clé de la solution.
Certains des résultats produits étaient des solutions presque parfaites. La Constellation Magique M n'a pas été atteinte avec précision, mais presque. A l'aide de deux modèles AI mathématiques, on a au moins superficiellement vérifié si on ne pouvait pas faire avancer les choses en utilisant une heuristique. L'idée était de transformer la solution presque parfaite en vraie solution grâce à un joli réarrangement. Les modèles mathématiques interrogés n'ont pu fournir aucune solution pour cela. Cela a cependant aidé à reconnaître ce chemin probablement erroné comme tel et à rediriger les ressources vers une approche de solution plus efficace.
Avec une intelligence artificielle propre, tellement de choses sont possibles. Par exemple, l'application Telefonjoker: Bientôt, ce système d'intelligence artificielle sera décrit plus en détail. Il peut: répondre à des questions par Microsoft et accepter la parole, convertir la parole en texte, poser une question à un LLM, convertir la réponse du LLM en parole, lire la réponse à haute voix au utilisateur. Tout cela localement, tout sans Winzigweich's Azure et ChatGPT. Mais aussi branché sur Internet si nécessaire. Ou bien inclure automatiquement des contenus de qualité supérieure d'origines fiables dans la réponse s'il le faut. On se demande: Quand sera-t-il éliminé du jeu "Qui veut gagner des millions" ?
Résumé
L'IA permet de trouver des solutions qui étaient auparavant cachées. En outre, cela permet d'éviter les problèmes de droits d'auteur (fin de l'ironie légère).
Au moins, dans de très nombreux cas, les solutions peuvent être considérablement accélérées.
18 ans après la meilleure solution jusqu'à présent, l'IA a permis de trouver une nouvelle solution, meilleure.
Se réfère à N=8 (année 2006) et N=9 (2024) Voir l'article.
Par exemple, avec le Magique Hexagone, on a pu montrer que des nouvelles solutions avec l'aide de l'intelligence artificielle peuvent même être trouvées pour les problèmes NP-difficiles. Pour rappel: la précédente solution beaucoup plus facile à trouver était de 2006. La nouvelle solution a été trouvée en 2024, soit 18 ans après.
Deux serveurs AI ainsi que un ordinateur portable AI et un serveur à bas coût ont été utilisés en parallèle. Les serveurs sont tous hébergés en Allemagne par un fournisseur allemand. Les serveurs n'ont fonctionné que pendant les heures hors business pour ne pas perturber le commerce quotidien. Les solutions ont été trouvées après quelques jours et quelques tours d'optimisation.
La prochaine étape d'amélioration du programme trouvé pour résoudre les hexagones magiques serait une parallélisation complète (CUDA). Exactement à cela servent les cartes graphiques AI. La calcul est probablement allé plus vite de 40 fois avec cela. Pas tout à fait sans importance lors des calculs qui peuvent durer semaines ou mois. Cette parallélisation de la recherche d'issue est à la fois mathématique et programmation technique complexe et doit donc être reportée à plus tard.
Quand votre entreprise résout-elle les problèmes avec l'IA ?
Auteur des hexagones magiques
Klaus Meffert, Idstein, Allemagne
Plus d'informations sur Research Gate.
Licence d'image pour les hexagones magiques
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L'auteur se réjouirait également d'être informé si vous mentionnez le carré magique de l'ordre 9. Merci à Thorsten Müller pour avoir fourni sa voix pour la version audio. Remarque: La version audio a été améliorée par une optimisation.
Messages clés de cet article
Une IA a résolu une énigme mathématique non résolue vieille de 18 ans.
L'IA a permis de résoudre cette énigme, qui n'avait pas pu être résolue auparavant par des méthodes traditionnelles comme le backtracking ou la force brute.
Les hexagones magiques sont des hexagones où chaque ligne a la même somme et où tous les nombres à l'intérieur des alvéoles sont utilisés.
Chaque chiffre à l'intérieur des alvéoles est utilisé exactement une fois.
Le numéro atomique (N) indique le nombre d'alvéoles sur chaque bord extérieur.
Par exemple, pour obtenir un hexagone magique d'ordre 3, il faut remplir 15 lignes avec une certaine somme.
Le 10 septembre 2024, une solution à un hexagone magique d'ordre 9 a été trouvée, alors qu'aucune solution de ce type n'existait auparavant.
Chaque variable de l'Hexagone magique d'ordre 9 influence exactement 48 autres alvéoles.
My name is Klaus Meffert. I have a doctorate in computer science and have been working professionally and practically with information technology for over 30 years. I also work as an expert in IT & data protection. I achieve my results by looking at technology and law. This seems absolutely essential to me when it comes to digital data protection. My company, IT Logic GmbH, also offers consulting and development of optimized and secure AI solutions.
