Utilizzando un sistema di intelligenza artificiale, l'autore è riuscito a risolvere un rompicapo matematico che era rimasto irrisolto per 18 anni. I cosiddetti esagoni magici potevano essere risolti con hardware standard in un modo finora sconosciuto. L'intelligenza artificiale utilizzata a questo scopo ha contribuito a sviluppare il programma di soluzione. Il resto è stato merito dell'intelligenza di un non-matematico.
Di cosa si tratta?
Si dimostra che con l'aiuto dell'intelligenza artificiale un problema matematico (NP-schwer) non risolto può essere risolto da un informatico dotato di mathematikkenntnissen piuttosto sviluppate. I problemi NP sono i più difficili perché, per lo più, non possono essere risolti in tempo finito solo provando e riprovando, e perché non esiste alcun algoritmo che garantisca la soluzione.
L'intelligenza artificiale è stata utilizzata come mezzo per raggiungere un fine. È stato necessario anche l'intervento umano. Senza l'IA, tuttavia, la soluzione illustrata non sarebbe mai stata realizzata.
Per 18 anni non c'è stata soluzione al problema, ma ora c'è. Con l'intelligenza artificiale.
Inoltre, va notato che la soluzione qui presentata è risultata essere molto più difficile da trovare rispetto alla migliore soluzione esistente, che ha solo 18 anni! Il problema originale risale al 1887, quando il maestro di costruzioni della città di Stralsund Ernst von Haselberg scoprì la sua passione per i Magici Esagoni. In seguito Martin Gardner fece conoscere il problema a livello mondiale.
Introduzione
La AI può fare enormemente molto, se viene utilizzata correttamente. Il seguente esempio concreto mostra con un risultato reale e rilevante per la matematica, come la AI possa notevolmente facilitare il lavoro. Per il problema in questione non solo è stata facilitata l'attività, ma è stata resa possibile la soluzione stessa. Senza AI, non ci sarebbero state tutte le soluzioni presentate (dalla N = 7).
AI + auto-intelligenza = soluzione
Più divertimento con l'infrastruttura AI che non comporta costi aggiuntivi con l'aumento dell'utilizzo.
Protezione dei dati, copyright, segreti commerciali
Anche se non sono state trattate dati personali: la soluzione utilizzata era ospitata su una propria infrastruttura. Comunque si tratta di qualcosa come un "Segreto commerciale ". Il percorso della soluzione per le magiche esagoni sembra essere sconosciuto in questa forma.
Chi vuole inserire un'immagine Wikipedia sulla sua pagina web per imbarazzo dovrebbe pensarci almeno dieci volte. La grafica nel paragrafo seguente è stata creata di persona. Chi invece vuole utilizzare un esagono simile (con una soluzione diversa) dalla pagina della Wikipedia tedesca, si troverà ad affrontare le necessarie indicazioni dell'autore per la licenza CC-BY-SA-3.0. Come l'autore 7 anni fa. Allora un autoproclamatosi cacciatore di plagi (fotografo) aveva cercato di utilizzare in modo scorretto le immagini che lui stesso aveva messo a disposizione gratuitamente su Wikipedia. Sapendo che l'indicazione dell'autore può essere seguita solo da pochi intimi. Purtroppo il cacciatore di plagi aveva problemi con la protezione dei dati sui suoi siti web e difficoltà con l'identificazione del fornitore. Così, quando gli fu fatto notare…
Esagoni magici
Si tratta di esagoni magici. Cosa sono gli esagoni magici?
I poligoni magici sono esagoni con determinate caratteristiche e hanno un numero di ordine, chiamato N. Questo numero di ordine dice quanti quadratini (celle) ogni lato esterno dell'esagono contiene. Ecco un esempio:
Questo esagono magico di ordine N = 3 ha 3 favi in ogni bordo esterno. Il numero di favi è 19 e segue la formula 3N²-3N+1. In totale, questo esagono è composto da 15 file. Queste 15 file sono:
- 5 file orizzontali
- 2 diagonali principali
- 4 diagonali laterali esterne
- 4 diagonali laterali interne
- = 15 righe
Nun viene il Magico: Un magico esagono (dell'ordine 3) è solo magico se tutte le righe 15 presentano la stessa somma e tutte le cifre nelle celle sono intere e ogni numero è stato estratto da una serie consecutiva e ogni numero è stato utilizzato esattamente una volta. Il numero di righe è anche il numero delle (dalle altre dipendenti) equazioni che devono essere risolte contemporaneamente. Per un magico esagono ci sono sempre più soluzioni.
In senso figurato, le 15 righe del più piccolo esagono magico significativo hanno questo aspetto (omettiamo l'ordine 1 perché l'esagono corrispondente è composto esattamente da un nido d'ape; l'ordine 2 non è possibile):
Si vedono 5 file diagonali con segni rossi, 5 file diagonali con segni verdi e 5 file orizzontali con segni blu, per un totale di 15 file. Ciascuna delle 15 file deve quindi avere la stessa somma in tutti i pettini della rispettiva fila. I numeri positivi sono spesso utilizzati per gli ordini più piccoli perché sono più facili da visualizzare. Nell'esempio precedente e anche negli esempi successivi e nei risultati appena prodotti, tuttavia, sono stati utilizzati numeri da -X a X. Per N = 3, la X corrisponde all'intervallo di valori da -9 a 9. Questo intervallo può essere determinato da: (numero di pettini – 1) / 2, ovvero (19 – 1)/2 = 9.
La passione per questi magici sei angoli affascina molti. Ad esempio, nel 2022 è stato sviluppato un algoritmo genetico per risolvere mini-sestagoni dell'ordine N = 3. Questo mini-sestagone ha 19 campi e 15 righe. Risolveremo un esagono che ha l'ordine N = 9 e 217 campi, oltre a 51 righe! La complessità aumenta quindi notevolmente con ordini più alti.
Per il campo di valori simmetrico (da -X a +X) si ottiene sempre come somma magica M il 0. Questa costante magica non è facilmente calcolabile per altre disposizioni dei numeri. Non è nemmeno chiaro per quali intervalli di numeri un esagono magico dell'ordine N sia risolvibile in generale. Per N = 5, ad esempio, sembra che non ci siano soluzioni con numeri maggiori di 15 come minimo valore iniziale. Quindi M = 0 è molto carino perché, da un lato, è calcolabile e dall'altro sembra che questa somma sia possibile per ogni ordine N.
Soluzioni
Quanto più un esagono è grande, tanto più difficile è trovare la sua soluzione magica. L'esagono più grande conosciuto finora è uno di misura N = 8 (vedi anche Wikipedia). Se qualcuno ha trovato o visto esagoni più grandi, si prega l'autore di fornire informazioni.
Per i Magici Hexagoni di lunghezza dei lati da 3 a 6 la soluzione viene trovata brutalmente con l'ausilio della "Forza Bruta". A partire da N = 7 diventa interessante.
In precedenza non esisteva alcuna soluzione per gli esagoni magici di ordine 9 (lunghezza di ogni bordo esterno). Esistono dal 10/09/2024.
Fonte: Klaus Meffert e ricerche proprie.
Wikipedia elenca esattamente una soluzione per N = 7. La soluzione utilizza i 128 numeri da 2 a 127 e ha una somma magica di 365. La soluzione utilizza i 128 numeri da 2 a 127 e ha la somma magica di 365. La soluzione è stata scoperta nel 2006.
Nuova soluzione per l'esagono magico di ordine 7
Per evitare problemi dovuti a informazioni errate sul copyright, abbiamo trovato noi stessi una soluzione:
Anche Wikipedia elenca esattamente una soluzione per l'ordine 8. Anche questa soluzione è stata scoperta nel 2006 (!) da Louis Hoelbling.
Nuova soluzione per l'esagono magico N = 8
L'autore ha anche trovato le proprie soluzioni per N = 8 con un programma sviluppato in proprio e creato, tra l'altro, con l'aiuto dell'intelligenza artificiale. Questa soluzione è diversa da quella riportata su Wikipedia e recita:
La soluzione di Louis Hoelbling registrata su Wikipedia è diversa perciò, perché non solo la numerazione è differente, ma anche non esiste una simmetria prevalente. Sarebbero simmetriche le soluzioni se potessero essere trasformate l'una nell'altra mediante rotazione, riflessione o anche inversione dei segni. ([1])
L'intensità del colore negli esagoni mostrati indica il numero di favi che sono influenzati da un favo ciascuno. Ovviamente, il campo centrale dell'esagono influenza maggiormente gli altri campi. Per questo motivo è rappresentato con il colore più scuro. I campi esterni hanno un'influenza minore sugli altri campi. Per saperne di più, si veda più avanti.
Prima soluzione per l'esagono magico di ordine 9
Secondo la ricerca dell'autore, non esiste una soluzione per gli esagoni magici per N = 9. L'autore ha trovato questa soluzione il 10/09/2024. La soluzione è:
La soluzione è stata trovata dal sistema di soluzioni dell'autore, creato con l'aiuto dell'intelligenza artificiale e dello sviluppo interno. L'e-mail con la soluzione, inviata automaticamente dal sistema di soluzioni, è stata inviata alle 00:08 del 10/09/2024.
Le condizioni di soluzione consistono in 51 equazioni e 217 variabili. Una variabile è qui il numero su un rullo nel seiottale. Ogni variabile fa parte di 3 delle 217 equazioni (perché ogni variabile corrisponde a un rullo e ogni rullo appartiene esattamente a 3 righe nel seiottale). Sembra abbastanza complesso e lo è anche. Con semplice tentativo non si arriva veramente al traguardo.
Nell'illustrazione dell'esagono magico di ordine 9, l'intensità del colore di ogni nido d'ape mostra anche quanti altri nidi d'ape sono influenzati. Influenza significa che una variazione del valore numerico sul favo ha un effetto sugli altri favi che sono influenzati dalla variazione numerica. In particolare, l'influenza per gli esagoni magici di ordine 9 ha sempre il seguente aspetto:
Il campo centrale influenza quindi altri 48 favi. I favi d'angolo, invece, influenzano solo altri 32 favi. Ogni favo fa parte esattamente di tre file. Il campo centrale si trova in tre file di uguale lunghezza, ciascuna delle quali è lunga 17 favi. I 17 risultano da 2N-1 (2*9-1). Poiché il campo centrale non viene contato quando influenza gli altri favi, 3 diagonali * (17-1) = 3 * 16 = 48. Questo numero è il numero di favi influenzati dal campo centrale, come si può vedere anche nella figura.
Verifica della soluzione
In genere è buona norma controllare le uscite dei programmi. Questo vale sia per i programmi convenzionali che per l'uscita AI.
Poiché l'autore è un informatico, non crede al proprio programma e alla soluzione mostrata sopra per l'esagono di ordine 9. La soluzione trovata è stata quindi ricalcolata manualmente. Ecco un estratto degli sforzi compiuti per evitare l'imbarazzo:
Mi scuso con tutti i matematici, che spero non troveranno errori grossolani nelle spiegazioni, ma certamente imperfezioni formali che infastidiranno un matematico.
Un matematico, un fisico e un informatico attraversano la Scozia in treno.
Tutti e tre siedono nello stesso scompartimento e guardano fuori dal finestrino.
Si vede un prato con delle pecore. Una pecora è nera.
L'informatico vuole fare un'affermazione scientifica e se ne rende conto: "In Scozia ci sono pecore nere."
Il fisico è arrabbiato perché l'affermazione dell'informatico è così imprecisa. Secondo il fisico, l'unica cosa che può essere realmente determinata è la seguente: "In Scozia c'è almeno una pecora nera."
Il matematico è sull'orlo di un collasso circolatorio. Non riesce a capacitarsi del fatto che gli informatici e i fisici abbiano fatto affermazioni così imprecise. Annuncia che possiamo solo concludere quanto segue: "In Scozia, c'è almeno una pecora che è nera sul lato rivolto verso di noi."
I matematici hanno sempre ragione, ma di solito non è rilevante nella pratica (a un matematico viene chiesto in un pallone aerostatico volante dove ci troviamo. La sua risposta è: "A 50 metri dal suolo").
I fisici non hanno nulla di cui vergognarsi, vedi Albert Einstein come maestro di tutte le classi.
Gli informatici hanno occasionalmente ragione, ma poi con riferimento alla pratica. Così l'esperienza personale di un informatico.
In che modo l'intelligenza artificiale ha contribuito alla soluzione?
I tentativi precedenti dell'autore di alcuni anni fa si basavano su Back Tracking e Brute Force con esclusione delle combinazioni che potevano essere riconosciute come inammissibili fin dall'inizio. Con N = 7 e N = 8 non sono state trovate soluzioni, anche se il programma era piuttosto avanzato. Nel frattempo questo approccio sarebbe promettente per N = 7 perché l'hardware è migliorato. Come lingua è stata utilizzata Java perché si tratta di una lingua compilata che viene eseguita molto più velocemente delle lingue interpretate.
Il tentativo attuale di successo si basa su un programma di riferimento creato con l'intelligenza artificiale. Questo programma funzionava bene per piccoli N, ma non per la zona di destinazione. Un paio di ottimizzazioni manuali portarono alla fine il successo. Come lingua è stata utilizzata Il codice Python non è un testo da tradurre, ma piuttosto un linguaggio di programmazione. Tuttavia, se vuoi sapere cosa significa o come funziona il codice Python, sono qui per aiutarti, la prima lingua dell'IA.
Il gioco del telefono in Chi vuole essere milionario? sarà presto storia.
Nonostante Python non sia particolarmente veloce, è stata effettuata un'ottimizzazione. Questa ottimizzazione si basa su un Just-In-Time Compiler (JIT). La programmazione con esso non è divertente, per dirlo con garbo. Ci si sente trasportati indietro di 20 anni in termini di comodità e funzionalità disponibili. Per risolvere il problema è stata nuovamente utilizzata l'intelligenza artificiale. Questo era un altro elemento della soluzione.
Alcuni dei risultati prodotti erano Soluioni quasi perfette. La Costante Magica M non è stata colta con precisione, ma quasi. Con l'aiuto di due modelli di intelligenza artificiale per la matematica sono stati almeno superficialmente verificati se qui non si potesse procedere con qualcosa di heuristico. L'idea era quella di trasformare la soluzione quasi perfetta in una vera soluzione attraverso un'abile manipolazione. I modelli matematici interrogati non hanno fornito alcuna soluzione per questo problema. Ciò ha comunque aiutato a riconoscere questa probabile via d'uscita come tale e a investire le risorse in un approccio di soluzione migliore.
Con una propria intelligenza artificiale sono possibili così tante cose. Ad esempio l'app Telefonjoker: presto verrà descritta più a fondo questa struttura di intelligenza artificiale. Può: ricevere domande per mezzo di Microsoft e riconoscere la lingua, trasformare la lingua in testo, porre una domanda all'LLM, trasformare l'risposta dell'LLM in lingua, leggere l'risposta al utente. Tutto locale, tutto senza Winzigweich's Azure e ChatGPT. Ma anche accedere a internet se necessario. O automatizzare la inclusione di contenuti di alta qualità da fonti attendibili per la risposta, se necessario. Si chiede: quando verrà abolito il Telefonjoker in Chi vuole essere milionario?
Conclusione
Con l'intelligenza artificiale si possono trovare soluzioni che prima rimanevano nascoste. Può anche evitare problemi di copyright (leggera ironia alla fine).
Tuttavia, in molti casi le soluzioni possono essere notevolmente accelerate.
18 anni dopo la migliore soluzione finora adottata, è stata trovata una nuova soluzione migliore grazie all'intelligenza artificiale.
Si riferisce a N=8 (anno 2006) e N=9 (2024) Vedi articolo.
Con l'esempio del Magico Esagono è stato possibile dimostrare che nuove soluzioni con supporto di intelligenza artificiale possono essere trovate anche per problemi NP-difficili. Per la memoria: la precedente, molto più facile da trovare soluzione risale al 2006. La nuova soluzione è stata trovata nel 2024, 18 anni dopo.
Come hardware è stato utilizzato lo standard attuale. In totale sono stati due server di intelligenza artificiale e un laptop di intelligenza artificiale e un server a basso costo impiegati in parallelo. I server sono tutti ospitati in Germania da un fornitore tedesco. I server lavoravano solo fuori dalle ore di ufficio sul problema, per non disturbare l'attività quotidiana. Le soluzioni sono state trovate dopo pochi giorni e alcune iterazioni di ottimizzazione.
La prossima stadio di sviluppo del programma trovato per risolvere i Magici Esagoni sarebbe una completa parallelizzazione (CUDA). Precisamente per questo esistono schede grafiche basate su intelligenza artificiale. La calcolazione dovrebbe avvenire probabilmente con un fattore 40 di velocità maggiore. Non è affatto irrilevante per calcoli che possono durare anche settimane o mesi. Questa parallelizzazione della ricerca dei risultati è sia matematicamente che programmisticamente complessa e deve quindi essere rimandata a un momento successivo.
Quando la vostra azienda risolve i problemi con l'IA?
Autore degli esagoni magici
Klaus Meffert, Idstein, Germania
Ulteriori informazioni su Research Gate.
Licenza d'immagine per gli esagoni magici
Tutte le immagini degli esagoni magici contenute in questo articolo possono essere utilizzate a condizione che non vengano alterate (è ovviamente consentito ridimensionare o comprimere le immagini).
Le versioni modificate delle immagini possono essere utilizzate citando un link a dr-dsgvo.de/magic.
Per progetti di beneficenza (o.a.) come Wikipedia, sono consentite l'uso dei seguenti immagini citando l'autore. Per altri progetti sono disponibili le stesse immagini con la licenza sopra menzionata.
In caso di dubbio per l'uso delle immagini, per favore chiedete conferma: klaus.meffert@dr-dsgvo.de
L'autore si sarebbe anche rallegrato se informato, quando si fa riferimento al magico sei di ordine 9. Grazie a Thorsten Müller per aver messo a disposizione la sua voce per la lettura ad alta voce. Nota: La lettura ad alta voce è stata migliorata grazie all'ottimizzazione.
Messaggi chiave di questo articolo
Un'intelligenza artificiale ha risolto un enigma matematico irrisolto da 18 anni.
Con l'aiuto dell'intelligenza artificiale è stato possibile risolvere questo rompicapo, che in precedenza non poteva essere risolto con metodi tradizionali come il backtracking o la forza bruta.
Gli esagoni magici sono esagoni in cui ogni riga ha la stessa somma e vengono utilizzati tutti i numeri all'interno dei favi.
Ogni numero all'interno del nido d'ape viene utilizzato esattamente una volta.
Il numero ordinale (N) indica il numero di favi presenti su ciascun bordo esterno.
Per un esagono magico di ordine 3, ad esempio, 15 righe devono essere riempite con una certa somma.
Il 10 settembre 2024 è stata trovata una soluzione per un esagono magico di ordine 9, che non esisteva in precedenza.
Ogni variabile dell'esagono magico di ordine 9 influenza esattamente 48 altri favi.
My name is Klaus Meffert. I have a doctorate in computer science and have been working professionally and practically with information technology for over 30 years. I also work as an expert in IT & data protection. I achieve my results by looking at technology and law. This seems absolutely essential to me when it comes to digital data protection. My company, IT Logic GmbH, also offers consulting and development of optimized and secure AI solutions.
