Розв'язано за допомогою АІ: розшифровано математичну головоломку 18-річної давності

За допомогою системи штучного інтелекту автору вдалося розв'язати математичну головоломку, яка залишалася нерозв'язаною протягом 18 років. Так звані магічні шестикутники можна було розв'язати за допомогою стандартного обладнання у раніше невідомий спосіб. Розробити програму розв'язання допоміг штучний інтелект. Все інше залежало від власного інтелекту нематематика.

Про що вона?

Виявляється, що за допомогою КІ можна розв'язати раніше нерозв'язане математичне (NP-важке) завдання навіть для інформатика з досить підвикористаними знаннями математики. NP-важкі завдання є найскладнішими, оскільки вони майже завжди не можуть бути вирішені протягом обмеженого часу шляхом лише проб і помилок, а також тому немає алгоритму, який забезпечує гарантовану відповідь.

ШІ тут використовувався як засіб для досягнення мети. Втручання людини також було необхідним. Однак без ШІ показане рішення ніколи не було б реалізоване.

Протягом 18 років не було рішення проблеми, але тепер воно є. Завдяки штучному інтелекту.

Наприклад, варто відзначити, що рішення тут значно складніше було знайти ніж найкраще попереднє рішення, яке вже 18 років! Пůvodní проблема походить з року 1887, коли стральський будівничий Ернст фон Газельберг відкрив своє захоплення магічними гексагонами. Пізніше Мартін Ґарднер зробив цю проблему світовою відомістю.

Вступ

AI може зробити величезну роботу, якщо її правильно використовувати. Наступний конкретний випадок показує з реальним, для математики важливим результатом, як AI може значно полегшити роботу. Для вказаного завдання робота не тільки була полегшена, але й саме рішення було зроблено можливим. Без AI всі представлені тут рішення (від N = 7) би не існували.

Захист даних, авторське право, комерційна таємниця

Хоча і жодних особистих даних не оброблялося: Виробничий процес відбувався на власній інфраструктурі. У будь-якому разі, це стосується чогось подібного до «Бізнес-секрету». Схема вирішення магічних гексагонів здається у цій формі невідомою.

Хто бажає включити зображення Вікіпедії на своїй вебсторінці через запаморкування, повинен краще десять разів подумати. Графіка у наступному розділі була створена самостійно. Хто ж бажає взяти подібне шестигранник (зі іншою відповіддю) з німецької Вікіпедії сторінки , той зіткнеться із необхідними правовими авторськими вказівками для ліцензії CC-BY-SA-3.0. Так само, як автор був 7 років тому. Тоді самовідважний плагіатський мисливець (фотограф) шукав після помилкової використання зображень, які він надав на Вікіпедію «безкоштовно». З відомості, що вказівки щодо авторства можуть виконуватися тільки дуже близькими знайомими. Нажаль, плагіатський мисливець мав проблеми із захистом даних своїх сторінок та проблемами з ідентифікацією провайдера послуг. Отже, він відкликав свій рахунок, коли йому було повідомлено про це… ([1])

Магічні шестикутники

Мова йде про магічні шестикутники. Що таке магічні шестикутники?

Магічні гексагони — це шестірки з певними Властивостями та мають порядок, який називається N. Цей порядок вказує, скільки клітин (клітин) кожна зовнішня кромка шестирок складається. Наприклад:

Цей магічний шестикутник порядку N = 3 має по 3 стільники у кожному зовнішньому ребро. Кількість сот дорівнює 19 і відповідає формулі 3N²-3N+1. Всього цей шестикутник складається з 15 рядів. Ці 15 рядків мають наступний вигляд:

• 5 горизонтальних рядів
• 2 основні діагоналі
• 4 бічні діагоналі зовні
• 4 бічні діагоналі всередині
• = 15 рядків

Нині приходить Магічне: Магічне шістнадцятикутник (орден 3) є лише магічним, якщо всі 15 рядків мають однакову суму та усі числа в клітинках цілі і кожна з цих чисел була взята з послідовної рядка та кожне число використовувалося тільки один раз. Кількість рядків одночасно є кількістю (відповідних одне одному) рівнянь, які необхідно розв'язати одночасно. Для магічного шістнадцятикутника завжди існує декілька рішень.

Образно кажучи, 15 рядів у найменшому значущому магічному шестикутнику виглядають так (ми опускаємо порядок 1, оскільки відповідний шестикутник складається рівно з одного стільника; порядок 2 неможливий):

Ви бачите 5 діагональних рядів з червоними позначками, 5 діагональних рядів з зеленими позначками і 5 горизонтальних рядів з синіми позначками, що складає 15 рядів. Таким чином, кожен з 15 рядів повинен мати однакову суму для всіх гребінців у відповідному ряду. Додатні числа часто використовуються для менших замовлень, оскільки їх легше візуалізувати. Однак у наведеному вище прикладі, а також у наступних прикладах і нещодавно отриманих результатах використовувалися числа від -X до X. Для N = 3, X відповідає діапазону значень від -9 до 9. Цей діапазон можна визначити за формулою: (кількість гребінців – 1) / 2, тобто (19 – 1)/2 = 9.

Фанатизм щодо цих магічних шестигранників захоплює багатьох. Так, наприклад, у 2022 році було розроблено генетичний алгоритм, щоб розгадати міні-шестигранники порядку N = 3. Цей міні-шестигранник має 19 полів та 15 рядків. Ми будемо розгадувати шестигранник, який має порядок N = 9 і 217 полів та 51 рядок! Зростає складність із вищою порядковістю значно.

Для вказаного вище симетричного діапазону значень (-X до +X) завжди отримується магічна сума M рівна 0. Ця магічна константа не легко визначити для інших розподілів ячейок. Також не зовсім зрозуміло, для яких діапазонів чисел існує рішення магічного шестикутника порядку N. Для прикладу, наприклад, для N = 5 немає жодної розв'язку з числами більші за 15 як мінімальної початкової кількості. Тому M = 0 дуже приваблива, бо вона першою розрахункова і виглядає так, ніби ця сума можлива для будь-якої порядку N.

Рішення

Навіщо більший шестикутник стає тим більш складним знайти його магічну суму. Найбільший відомий магічний шестикутник має розмір N = 8 (дивіться також Вікіпедію). Якщо хто-небудь знайде або побачить більші шестикутники, просимо повідомити про це авторові.

Для магічних шестигранників з довжиною ребра від 3 до 6 вирішення шляхом брутального пробування досить швидко знаходиться ("Brute Force"). Від N = 7 воно стає цікавим.

Раніше не існувало розв'язку для магічних шестикутників порядку 9 (довжина кожного зовнішнього ребра). Вони існують з 10.09.2024.

Джерело: Клаус Мефферт та власні дослідження.

У Вікіпедії є лише один розв'язок для N = 7. Розв'язок використовує 128 чисел від 2 до 127 і має магічну суму 365. Розв'язок було відкрито у 2006 році.

Нове рішення для магічного шестикутника 7-го порядку

Щоб уникнути будь-яких проблем через некоректну інформацію про авторські права, ми знайшли рішення самостійно:

У Вікіпедії також вказано рівно один розв'язок для 8-го порядку. Його також відкрив у 2006 році (!) Луїс Хелблінг.

Новий розв'язок для магічного шестикутника N = 8

Автор також знайшов власний розв'язок для N = 8 за допомогою самостійно розробленої програми, яка була створена, зокрема, з використанням ШІ. Цей розв'язок відрізняється від наведеного у Вікіпедії і читається так:

Використовувана на Вікіпедії розв'язка Луїса Хельблінга відрізняється тим, що не лише порядковий номер змінений, але також немає симетрії. Симетричними були б розв'язки, якщо вони можна було би перетворити одне на одне шляхом обертання, відбиття або зміни знаків.

Інтенсивність кольору в показаних шестикутниках вказує на кількість стільників, на які впливає один стільник. Очевидно, що центральне поле в шестикутнику має найбільший вплив на інші поля. Тому воно показане найтемнішим кольором. Зовнішні поля мають найменший вплив на інші поля. Детальніше про це нижче.

Перший розв'язок для магічного шестикутника 9-го порядку

Згідно з дослідженнями автора, не існує розв'язку для магічних шестикутників при N = 9. Автор знайшов цей розв'язок 10.09.2014. Розв'язок має вигляд:

Рішення було знайдено авторською системою рішень, яка була створена за допомогою штучного інтелекту та власних розробок. Лист з рішенням, який автоматично надсилається системою рішень, було відправлено о 00:08 10.09.2014.

Умови рішення складаються з 51 рівнянь та 217 змінних. Змінна тут — це число на однієї ваблі у шестиграннику. Кожна змінна є частиною 3 із 217 рівнянь (оскільки кожна змінна відповідає однією ваблі і кожна вабля належить саме до 3 рядків у шестиграннику). Вигадувати щось тут не дуже допоможе.

На ілюстрації магічного шестикутника 9-го порядку інтенсивність кольору кожної соти також показує, на скільки інших сот вона впливає. Вплив означає, що зміна числового значення на одній комірці має вплив на інші комірки, на які впливає ця числова зміна. Зокрема, вплив для магічних шестикутників 9-го порядку завжди виглядає так:

Таким чином, центральне поле впливає на 48 інших стільників. Кутові стільники, з іншого боку, впливають лише на 32 інші стільники. Кожна комірка є частиною рівно трьох рядів. Центральне поле лежить у трьох рядах однакової довжини, кожен з яких має 17 стільників. Число 17 виходить з 2N-1 (2*9-1). Оскільки саме центральне поле не враховується при впливі на інші стільники, 3 діагоналі * (17-1) = 3 * 16 = 48. Це число є кількістю стільників, на які впливає центральне поле, що також видно на рисунку.

Перевірка рішення

Загалом, це гарна ідея – контролювати результати програми. Це стосується як звичайних програм, так і результатів ШІ.

Оскільки автор є комп'ютерним науковцем, він не вірить власній програмі та розв'язку, наведеному вище для шестикутника 9-го порядку. Тому знайдений розв'язок було перераховано вручну. Ось уривок з нього, щоб уникнути конфузу:

Прошу вибачення у всіх математиків, які, сподіваюсь, не знайдуть грубих помилок у поясненнях, але, безумовно, знайдуть формальні недоліки, які будуть дратувати математика.

Математик, фізик і комп'ютерник їдуть потягом через Шотландію.

Всі троє сидять в одному купе і дивляться у вікно.

Ти бачиш луг з вівцями. Одна вівця чорна.

Комп'ютерний вчений хоче зробити наукове твердження і розуміє це: "У Шотландії є чорні вівці."

Фізик засмучений тим, що твердження комп'ютерника є настільки неточним. На думку фізика, єдине, що дійсно можна визначити, це наступне: "У Шотландії є щонайменше одна біла ворона."

Математик на межі інфаркту. Він не може прийти до тями від того, що комп'ютерники та фізики зробили такі неточні твердження. Він оголошує, що ми можемо зробити лише наступний висновок: "У Шотландії є принаймні одна вівця, яка має чорне забарвлення на боці, зверненому до нас."

Математики завжди мають рацію, але на практиці це, як правило, не має значення (математика запитують у польоті на повітряній кулі, де ми знаходимося. Його відповідь: "50 метрів над землею").

Фізикам немає чого соромитися, вони вважають Альберта Ейнштейна майстром на всі руки.

Інформатиками часом праві, тоді але з Практичним зв'язком. Така особиста життєва досвід інформатика.

Як штучний інтелект допоміг у вирішенні проблеми?

Перші спроби автора декілька років тому ґрунтувалися на Back Tracking і Brute Force із виключенням комбінацій, які з початку вважалися незаконними. Для N = 7 та N = 8 за допомогою цього методу ніяких рішень не було знайдено, хоча програма була досить розвинутою. Тепер цей підхід міг би бути перспективним для N = 7, оскільки техніка покращилася. Як мова була використана Java, бо вона є компільованою мовою, яка виконує значно швидше, ніж інтерпретовані мови.

Сучасні успішні спроби ґрунтуються на програмному забезпеченні, створеному з використанням штучного інтелекту. Цей код працював добре для менших завдань, але не для цілевого напрямку. Незначні ручні оптимізації принесли остаточний успіх. Як мова була використана Питон, перша мова штучного інтелекту.

Телефонний трюк у "Wer wird Millionär" скоро стане історією.

Ми зробили оптимізацію, оскільки Python не дуже швидкий. Ця оптимізація ґрунтується на Just-In-Time Compiler (JIT). Працювати з цим не дуже весело, якщо хочеш бути ввічливим. Вибуваєш у часи 20 років тому щодо комфорту та доступності функцій. Для вирішення цієї проблеми знову використовували штучний інтелект. Це був ще один важливий крок до рішення.

Някі з отриманих результатів були Безпосередніми рішеннями. Магічна константа M була не зовсім точно визначена, але майже. За допомогою двох математичних моделей КІ було перевірено на поверхневому рівні, чи можна тут не використовувати гіпотезу далі. Ідея полягала у тому, щоб зробити Безпосереднє рішення шляхом майстерного перетворення справжнім рішенням. Витребуті математичні моделі не змогли надати рішення цього питання. Але це допомогло визнати цей можливий помилковий шлях за тим, чим він є, і спрямувати ресурси на краще рішення.

З допомогою власної КІ можливі такі речі. Наприклад, застосунок "Телефонний жартівник": найближчим часом буде описано це КІ-система. Вона може: запитати за допомогою Microsoft і приймати мову, перетворювати мову на текст, поставляти запитання в LLM, перетворювати відповідь LLM на мову, читати відповідь користувачеві. Всі локальні, всі без Winzigweich's Azure та ChatGPT. Для цього також необхідно підключитися до інтернету, якщо потрібно. Або автоматично включати якісно вміст з довірених джерел для відповіді, якщо потрібно. Люди запитують: Коли буде скасований застосунок "Телефонний жартівник" у шоу "Хто хоче стати мільйонером"?

Результат

Завдяки ШІ можна знайти рішення, які раніше залишалися прихованими. Він також дозволяє уникнути проблем з авторськими правами (легка іронія в кінці).

Однак, як мінімум, у багатьох випадках рішення можна значно прискорити.

За допомогою прикладу магічного шестикутника було показано, що нові рішення з підтримкою КІ навіть для NP-важливих проблем можуть бути знайдені. Для ознайомлення: попереднє, значно легше знаходження рішення було знайдено у 2006 році. Нова рішень була знайдена у 2024 році, через 18 років.

Als обладнання був використаний сучасний стандарт. Загалом були використані два сервери з інтелектуальної техніки, а також один ноутбук з інтелектуальною технікою та один сервер низької вартості паралельно. Сервери розміщені всі в Німеччині від німецького постачальника. Сервери працювали лише за межами робочих годин на цьому проблемі, щоб не порушувати щоденну роботу. Рішення було знайдено протягом кількох днів та декілька раундів оптимізації.

Наступна Етап розширення знайденого програми для вирішення магічних шестигранників була б повна паралелізація (CUDA). Просто для цього існують графічні карти з інтелектуальної техніки. Враховуючи цю інформацію, розрахунок швидше буде відбуватися майже у 40 разів. Для розрахунків, які можуть тривати тижні або навіть місяці, це не зовсім неважливо. Цю паралелізацію пошуку результату було б досить складно здійснити як математично, так і програмістсько-технологічно, тому вона була відкладена на пізніше.

Коли ваша компанія вирішує проблеми за допомогою АІ?

Авторка "Чарівних шестикутників

Клаус Мефферт, Ідштайн, Німеччина

Додаткова інформація на Research Gate.

Ліцензія на зображення магічних шестикутників

Всі зображення магічних шестикутників з цієї статті можуть бути використані за умови, що вони не будуть змінені (масштабування або стиснення зображень, звичайно, дозволено).

Змінені версії зображень можуть бути використані за умови вказання посилання на dr-dsgvo.de/magic.

Для громадських проектів (о.е.) як Вікіпедія дозволяється використовувати такі зображення, вказуючи автора. Для інших проектів доступні ті ж зображення із тією ж ліцензію, що й раніше згадувалася.

У разі сумніву щодо використання зображення, будь ласка, зверніться за запитанням: klaus.meffert@dr-dsgvo.de

Автор також буде раді, якщо ви згадаєте магічне шістнадцятикутник порядку 9. Дякуємо Thorsten Müller за надання своєї голосу для мовлення. Примітка: Мовлення було покращено шляхом оптимізації.

Основні тези цієї статті

Штучний інтелект розв'язав математичну головоломку 18-річної давності.

За допомогою ШІ вдалося розв'язати цю головоломку, яку раніше не вдавалося вирішити традиційними методами, такими як зворотний пошук або груба сила.

Магічні шестикутники – це шестикутники, в яких кожен рядок має однакову суму, а всі числа всередині сот використані.

Кожне число в сотах використовується рівно один раз.

Порядковий номер (N) вказує на кількість стільників на кожному зовнішньому краю.

Для магічного шестикутника 3-го порядку, наприклад, 15 рядків повинні бути заповнені певною сумою.

10 вересня 2024 року було знайдено розв'язок для магічного шестикутника 9-го порядку, хоча раніше такого розв'язку не існувало.

Кожна змінна в магічному шестикутнику 9-го порядку впливає рівно на 48 інших сот.

Про ці основні твердження