Hexágono mágico: hallado con IA para todos los tamaños

El acertijo del panal ya tiene una respuesta para cada tamaño. El autor encontró la demostración con ayuda de IA y el asistente de demostraciones Lean la verificó por máquina; una revisión independiente sigue pendiente. Aquí se explica sin jerga.

Un hexágono mágico es un acertijo numérico que se juega sobre celdas de panal. La demostración de que existen estos hexágonos en cualquier tamaño se halló con ayuda de IA y Lean la verificó por máquina. La búsqueda automatizada de la demostración requirió unas horas de cálculo. Aquí se trata expresamente del acertijo matemático y no del homónimo concepto de la política económica.

El artículo explica primero qué exige el acertijo y traza el recorrido desde el primer hexágono hasta la demostración. Después sigue la idea de la demostración en cinco piezas, cada una con una imagen. Al final se aborda por qué se puede confiar en una demostración verificada por ordenador, qué debe seguir comprobando una persona y qué cifras y hechos respaldan el resultado.

Hexágono mágico: qué exige el acertijo numérico

El tablero es una figura de panal con forma de hexágono regular. El tamaño se llama orden n e indica cuántas celdas hay en un lado. Un hexágono de orden n consta de 3n(n−1)+1 celdas. Con n = 3 son 19 celdas; con n = 10 ya son 271.

En las celdas se escriben números enteros de modo que todas las filas rectas den la misma suma. Se cuentan las filas en las tres direcciones del panal. En cada dirección hay 2n−1 filas. Las más cortas, en el borde, tienen n celdas; la central tiene 2n−1 celdas.

El hexágono mágico más famoso lleva los números del 1 al 19 y tiene orden 3. Cada fila suma 38. Es el hexágono clásico, y con los números a partir del 1 solo existe ese tamaño en el que el acertijo se resuelve. Una sencilla consideración de divisibilidad muestra que la suma de fila necesaria solo es un número entero para n = 1 y n = 3. Para todos los demás órdenes, la variante clásica fracasa ya de entrada.

Por eso el nuevo trabajo gira en torno a una variante emparentada. En lugar de empezar en 1, se usan los números enteros de −K a K, cada uno exactamente una vez. Aquí K = 3n(n−1)/2. Con n = 3 son los números de −9 a 9; con n = 10, los números de −135 a 135. Cada fila suma 0 y en el centro está el 0.

El acertijo parece inofensivo, pero es difícil. El número de rellenos posibles crece tan deprisa con n que probar a ciegas en el ordenador no lleva lejos. Lo que se buscaba era un plano de construcción que funcione para cualquier tamaño y una demostración de que ese plano siempre cuadra.

Del acertijo de 1887 al mayor hexágono conocido: la trayectoria

El problema original procede de Ernst von Haselberg y suele fecharse en 1887. Algunas fuentes citan 1888; la fuente primaria no se consultó. Más tarde, Adams volvió a encontrar el hexágono clásico, según su propio relato, en 1957 y lo dio a conocer a través de la columna de Martin Gardner. Que esta solución es la única salvo giros y simetrías lo demostró Charles W. Trigg, con publicación en 1964. La Universidad de Bielefeld mantiene una colección al respecto y Wolfram MathWorld ofrece una visión general.

La variante con números enteros consecutivos y suma 0 llegó a la vista más tarde. Entre 2004 y 2006 se hallaron los órdenes 4 a 8: el orden 6 en octubre de 2004 y los órdenes 7 y 8 en 2006. Hasta 2006 la mayor solución conocida era el orden 8. Los órdenes menores ya estaban resueltos. La Wikipedia alemana ofrece una visión general con referencias; algunas de sus fechas carecen de fuente.

En 2024, Dr. DSGVO, autor de este blog, encontró con IA una solución de orden 9. Era entonces la mayor solución conocida.

El 2 de agosto de 2026, Konstantin Gukov publicó después en su sitio New magic hexagons un patrón. Buscó soluciones hasta el orden 21 y reconoció que de ellas probablemente se puede derivar una regla de construcción para hexágonos de cualquier tamaño. Gukov describió para ello un algoritmo y un esbozo de demostración que debía funcionar por fin a partir del orden 114. Él mismo señala que este esbozo no está formalizado en Lean ni verificado de forma independiente. La demostración seguía, pues, pendiente.

Para ese hueco existe ahora una demostración para todos los órdenes a partir de 3. Surgió con IA y está documentada como descripción del 21 de octubre de 2026. Lean la ha verificado por máquina, una revisión independiente sigue pendiente y los archivos de Lean aún no están enlazados públicamente. Más sobre esto más adelante.

Hexágonos mágicos de todos los tamaños: qué está demostrado

Está demostrado que para cada orden n a partir de 3 existe un hexágono mágico con los números de −K a K en el que cada fila, en las tres direcciones, suma 0. También está demostrada la versión reforzada, en la que además el 0 está en el centro. No hay límite superior. El esbozo de Gukov solo funciona a partir del orden 114; los órdenes anteriores quedaban abiertos sin la última pieza.

La cobertura es escalonada. El orden 2 es imposible porque los siete números de −3 a 3 no se pueden distribuir de forma adecuada. Esta parte no forma parte de la demostración en Lean. Para los órdenes 3 a 6 hay hexágonos terminados que Lean comprobó número a número. Para los órdenes 7 a 61 se aplica un plano de construcción general, complementado con una solución verificada de un subacertijo para cada orden. Para los órdenes 62 a 118 vale lo mismo, solo que las listas necesarias se calcularon y verificaron de nuevo. A partir del orden 119 basta un plano fijo, demostrado en general para todo n.

Dos teoremas principales lo resumen. El primero afirma que para cada n a partir de 3 existe un hexágono mágico de orden n. El segundo dice lo mismo para la versión reforzada con el 0 en el centro. Ambos teoremas no tienen más hipótesis que n ≥ 3.

La demostración en cinco piezas: visión general

La demostración puede imaginarse como una escalera. Cada pieza reduce la tarea hasta que al final solo queda una distribución de asientos en un banco. Las piezas 1 a 4 ya estaban verificadas. La novedad es la quinta pieza, la distribución de asientos para cada tamaño. Con ella se cierra la demostración.

Las secciones siguientes recorren las piezas por orden. Las tres primeras son intuitivas; las dos últimas pueden ser algo más técnicas. Todos los cálculos los verificó Lean, así que en el texto bastan las ideas.

Pieza 1: basta un sexto, porque enfrente está el negativo

No hace falta planificar todo el hexágono, basta un sexto. Cada celda tiene una celda opuesta, situada en simetría respecto al centro. Si en una celda está el número a, en la celda opuesta va −a. Así cada número queda consumido junto con su negativo, y el 0 se reserva para el centro.

Esto tiene una consecuencia práctica para las filas. La fila simétrica tiene exactamente la suma negativa. Si una fila está equilibrada, su imagen especular también lo está. Las filas que pasan por el centro están equilibradas por sí mismas.

El hexágono se descompone alrededor del centro en seis triángulos iguales. Tres de ellos son triángulos de celdas opuestas: sus números se siguen de la simetría respecto al centro con el signo invertido. Otros dos son copias del sexto triángulo giradas 120 grados y reciben números estrechamente relacionados. Queda un único triángulo libre con T = n(n−1)/2 celdas. Con n = 10 son 45 celdas en lugar de 271.

La condición «cada fila suma 0» se convierte así en una condición sobre ese triángulo. Para cada fila, una suma ponderada de sus entradas debe dar cero. En lo que sigue, esa suma se llama balance de la fila.

Pieza 2: cada número se convierte en base más cifra

En el segundo paso, cada número se descompone en dos partes, una base y una cifra. Ambas partes se equilibran por separado. Como las sumas de fila simplemente se suman al sumar, el hexágono es mágico en cuanto ambas partes están equilibradas por sí solas.

Para ello, el conjunto de números del 1 al 3T se divide en grupos de tres: k, T+k y 2T+k para k de 1 a T. Cada grupo es la base T+k más T por una cifra, donde la cifra es −1, 0 o 1. En el hexágono de orden 3, T = 3 y el conjunto va de 1 a 9. La base 4 da 1, 4 y 7; la base 5 da 2, 5 y 8; la base 6 da 3, 6 y 9.

Así la tarea se divide en dos acertijos independientes. El primero es un campo de cifras de −1, 0 y 1 con balance cero en cada fila. El segundo es un campo de bases en el que los valores de T+1 a 2T se reparten y se dotan de signo de modo que el balance de cada fila sea cero.

Pieza 3: el campo de cifras crece como una escalera

El campo de cifras está resuelto por completo para todos los órdenes a partir de n = 5, mediante inducción en pasos de tres. El principio lo conoce cualquier escalera: quien tiene el primer peldaño y una regla para pasar al siguiente alcanza todos los peldaños.

Primero hay campos de cifras terminados y equilibrados para los radios 4, 5 y 6. El radio es aquí n−1. Después vale una regla de ampliación: un campo de cifras equilibrado se puede ampliar con tres nuevas capas en el borde. Las nuevas capas tienen un patrón tal que se anulan entre sí en cada fila. De 4 se pasa así a 7, 10, 13 y más allá; de 5 a 8, 11 y más allá; de 6 a 9, 12 y más allá. Con ello se alcanza todo radio a partir de 4.

Esta parte apenas cuesta tiempo de cálculo al verificar. Sin embargo, solo resuelve el primero de los dos subacertijos; el campo de bases sigue abierto.

Pieza 4: distancias deseadas que se compensan entre sí

El campo de bases no se busca directamente. En su lugar, primero se fija para cada par de celdas cuánto deben diferir sus dos bases. Estas distancias deseadas están demostradas en general para todos los órdenes a partir de n = 13.

Casi todas las celdas del triángulo forman pares situados en simetría respecto a su eje central. Una celda del par recibe un signo menos y la otra un más. En el balance solo queda la diferencia entre ambos valores, y la parte común T desaparece. Importa, pues, solo la distancia entre los dos rangos. El rango es simplemente el número de lugar: la base T+k tiene el rango k.

Las distancias deseadas surgen en varios pasos. Existen los círculos de asociatividad: pequeños patrones de cuatro pares de celdas con pesos +1 y −1 y balance cero en cada fila. El nombre procede de la regla de cálculo según la cual en las sumas se pueden cambiar los paréntesis sin alterar el resultado. Toda suma de tales patrones también tiene balance cero. De muchos patrones surge un campo maestro en el que ningún par de celdas recibe la distancia 0. Una distancia 0 sería inutilizable, porque dos celdas nunca pueden llevar el mismo número.

Las celdas del eje central no tienen pareja. A estas se les asignan los rangos más pequeños 1, 2, 3 y así sucesivamente, y el campo maestro compensa exactamente su aportación. Las celdas diagonales aportan además la parte T, que no se anula. La compensan dos cadenas ramificadas de pares de celdas, los bosques. Sus distancias se aumentan en aproximadamente T/2, o sea, en total en T.

El resultado es un conjunto completo de distancias deseadas con balance cero en cada fila, ninguna de ellas igual a cero. La mayoría de las distancias son pequeñas y no pasan de 12. Las celdas de la primera fila tienen distancias de hasta aproximadamente 2n, y los pares de los bosques, distancias cercanas a T/2.

Pieza 5: la distribución de asientos para cada tamaño

Por último hay que repartir realmente los rangos de 1 a T de modo que cada par de celdas obtenga exactamente su distancia deseada. A partir de n = 119 esto se logra con un plano fijo; por debajo, con listas halladas por ordenador y verificadas por Lean.

Puede imaginarse como una distribución de asientos en un banco largo con T plazas. Las celdas diagonales se sientan fijas en las primeras plazas 1, 2, 3 y así sucesivamente. Cada par de celdas necesita dos plazas a la distancia prescrita. Ninguna plaza puede estar ocupada dos veces. Quedan libres exactamente n−1 plazas. Estas van a las celdas del borde sin pareja, para las que cualquier plaza sirve.

El truco decisivo son los bloques. Los pares con la misma distancia g se pueden apilar sin huecos. Con g = 3, los pares (1, 4), (2, 5) y (3, 6) llenan las plazas 1 a 6 sin huecos. En general, g pares con distancia g llenan exactamente 2g plazas consecutivas, y luego sigue el siguiente bloque. Así cada grupo de distancia desperdicia como máximo g−1 plazas al final de su último bloque. Los grupos con distancias de 1 a 12 cuestan en total como máximo 0+1+…+11 = 66 plazas.

El banco se divide de delante hacia atrás en cinco zonas. En la primera zona se sienta la diagonal. Sigue la ventana estelar, en la que una fila especial de pares se anida como arcoíris y en cuyos huecos caben pares con distancias 6 y 8. En la ventana del bosque se sientan pares con distancias muy grandes, y sus parejas acaban lejos, atrás, en una zona reservada. Después vienen las clases de restos, es decir, todos los demás pares con distancias de 1 a 12 en bloques. Por último, las n−1 celdas del borde ocupan las plazas que quedan.

¿Por qué el plano solo funciona desde n = 119? El banco está casi exactamente lleno. Solo pueden quedar libres tantas plazas como celdas de borde sin pareja hay, es decir, n−1. El plano pierde como máximo 117 plazas: 18 en la ventana estelar, 66 en los bloques, 21 en la ventana del bosque y 12 al saltar. Funciona, pues, en cuanto n−1 es al menos 118. Con n = 119 hay 118 plazas libres y se pierden como máximo 117, por lo que queda una plaza de reserva.

Para los tamaños menores, un programa de ordenador buscó distribuciones de asientos adecuadas y las guardó como listas de números. Estas listas se llaman certificados. Lean vuelve a comprobar cada certificado por sí mismo en lugar de fiarse del programa de búsqueda.

Por qué se puede confiar en la demostración: Lean verifica cada paso

La demostración no solo está escrita, sino controlada línea a línea por un verificador de demostraciones. Lean es un lenguaje de programación para demostraciones matemáticas. Cada inferencia se escribe con tanta precisión que el ordenador puede recalcularla. Allí no hay lagunas ni un «obviamente». Un error haría que la compilación se interrumpiera.

Se utiliza Mathlib, la gran biblioteca común de matemáticas ya verificadas para Lean, por ejemplo para las reglas de cálculo con conjuntos finitos y sumas. En la demostración terminada no aparece ni un solo «sorry». Así se llama en Lean el marcador con el que se puede omitir provisionalmente un paso. Tampoco hay ningún axioma propio (una hipótesis básica sin demostrar) ni confianza en código de programa compilado. Al final, Lean puede enumerar en qué hipótesis básicas se apoya un teorema. Aquí son solo las tres habituales sobre las que se construye prácticamente toda Mathlib: propext, Classical.choice y Quot.sound.

Los programas de Python que encontraron los certificados y el plano no tienen por qué estar libres de errores. Lean rechazaría un certificado falso o un plano falso. Esa es la verdadera ganancia de usar IA y programas de búsqueda: las herramientas pueden adivinar, y aun así la verificación es estricta.

Lo que debe comprobar una persona: la definición en cinco líneas

Un límite vale para toda demostración verificada por ordenador: la definición del principio no se comprueba, se presupone. En este caso la definición tiene solo cinco líneas y dice en lenguaje corriente lo siguiente: existe un relleno de las celdas con números enteros. Dos celdas no llevan el mismo valor. Los valores usados son exactamente los números de −K a K. Cada fila, en cada una de las tres direcciones, suma 0. En la versión reforzada, además, el 0 está en el centro.

Tres posibles resquicios quedan excluidos. Primero, celdas y números encajan: el hexágono tiene 3n(n−1)+1 celdas y de −K a K hay exactamente tantos números, de modo que «cada número exactamente una vez» queda forzado. Segundo, los valores fuera del panal no cuentan; todas las condiciones se refieren solo a celdas dentro del hexágono. Tercero, las filas fuera del panal están vacías y su suma es automáticamente 0, lo cual es inofensivo. La fórmula de K usa división entera, lo cual es inocuo porque n(n−1) siempre es par.

Durante la revisión se detectó además una laguna que ya está cerrada. La definición original no exigía expresamente el 0 en el centro. La construcción lo proporciona siempre, porque las celdas simétricas llevan valores opuestos. Aun así, ahora existe la definición reforzada con la condición adicional de que el centro sea 0, y el segundo teorema principal la demuestra para todo n a partir de 3.

Queda una confianza residual, como en toda demostración formal. Afecta al pequeño núcleo verificador de Lean y a las definiciones básicas de Mathlib, por ejemplo para sumas e intervalos. Se utilizó una versión preliminar de Lean 4. Además, la verificación se ejecutó hasta ahora en un único entorno. Será más seguro cuando alguien compile los archivos de forma independiente en su propio ordenador. Opcionalmente, un programa de control aparte como lean4checker puede volver a comprobar los archivos de demostración terminados. Para tamaños pequeños también se puede generar un hexágono concreto y recalcularlo a mano. Eso no demuestra nada adicional, pero muestra de forma intuitiva que la definición recoge lo que se quiere decir.

Cifras y hechos sobre la demostración

Sobre el enunciado: está demostrado un hexágono mágico con suma cero para cada orden n a partir de 3, también con el 0 en el centro. Hay hexágonos terminados para n = 3 a 6. Para n = 7 a 118, los certificados aportan la solución del acertijo de bases; de ellos, 57 son nuevos, concretamente los de n = 62 a 118. El plano general vale a partir de n = 119, lo que corresponde al radio 118. Pierde como máximo 117 plazas y deja al menos una plaza de reserva con n = 119. El mayor orden con certificado es n = 118, lo que corresponde a 6 903 celdas en el triángulo.

Sobre el volumen: las piezas 1 a 4 y los certificados hasta n = 61 están reunidos en un archivo de 2 713 líneas. La pieza 5 consta de 40 archivos con unas 7 000 líneas. El mayor consumo de memoria es de 5,9 gigabytes, en un archivo sobre la primera fila del plano. Se utilizaron Lean 4 en la versión preliminar v4.35.0-rc4 y Mathlib. Como axiomas solo aparecen propext, Classical.choice y Quot.sound; no hay lagunas abiertas.

Sobre el tiempo de cálculo: la reconstrucción de la pieza 5 tarda unos 38 minutos y los certificados necesitan en paralelo unos 23 minutos. Algunos archivos tardan bastante más. El archivo con las piezas 1 a 4 necesita 460 segundos, el archivo auxiliar con las fórmulas de las distancias deseadas 897 segundos, los certificados para n = 62 a 89 otros 437 segundos y los de n = 90 a 117 otros 927 segundos. Los archivos de la primera fila necesitan juntos unos 18 minutos. Estos tiempos describen la reconstrucción de la verificación terminada. Toda la demostración automatizada, con búsqueda y desarrollo, costó unas horas.

Sobre las pruebas previas: el plano se probó numéricamente antes de la demostración en Lean, como réplica exacta de las definiciones para los radios 118 a 450. Los enunciados auxiliares se comprobaron hasta el radio 20 000. Estas pruebas fueron solo una verificación preliminar; la demostración en sí es el texto de Lean.

Qué sigue: preguntas abiertas y valoración

El trabajo de Gukov y la demostración en Lean se complementan. Gukov aportó el patrón, la construcción y un esbozo con el límite 114. El esbozo no calculó las lagunas de la primera fila y de los bosques. Colocadas de forma ingenua, ahí habrían faltado en conjunto unas 2n a 3n plazas, más que las n−1 permitidas. La demostración en Lean parte justo de ese punto. Aporta fórmulas para las distancias deseadas, un plan de empaquetado con como máximo 117 plazas perdidas en lugar de 2n a 3n y nuevos certificados para los órdenes 62 a 118. Con ello quedan cubiertos todos los órdenes a partir de 3.

Queda pendiente por ahora el control independiente: una reconstrucción en un ordenador ajeno (ya realizada por el autor), a ser posible con lean4checker, y una revisión por especialistas. Los archivos de Lean aún no están enlazados públicamente en esta descripción. Además, Gukov plantea en su sitio una pregunta que la demostración no responde: ¿por qué los valores de las celdas parecen aleatorios mientras que los campos de potencial correspondientes se ven suaves? Son concebibles otras variantes del acertijo, pero no se promete nada al respecto.

Un acertijo que empezó con una figura de panal de 19 celdas está resuelto para cualquier tamaño. Hizo falta primero la idea de una persona, después la IA como buscadora y asistente de demostraciones y, por último, un verificador que no cree a ninguno de los implicados, sino que recalcula cada paso.